Гамма-розподіл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Гама розподіл в теорії ймовірностей — це двопараметрична сім'я абсолютно неперервних розподілів. Він складається з параметрів θ і k. Якщо k — ціле тоді розподіл показує суму k незалежних експоненціально розподілених випадкових величин, кожна з яких приймає значення θ. Якщо параметр k приймає ціле значення, то такий гамма-розподіл також називається розподілом Ерланга.

Означення[ред.ред. код]

Нехай розподіл випадкової величини X задається щільністю ймовірності, яка має вигляд

 f_X(x) = \left\{
\begin{matrix}
x^{k-1} \frac{e^{-x/\theta}}{\theta^k \, \Gamma(k)}, & x \ge 0 \\
0, & x < 0
\end{matrix}
\right., де функція \Gamma (k) має вигляд

 \Gamma(k)=\int\limits^\infty_0x^{k-1}e^{-x}dx
і має наступні властивості:

  • \Gamma(k)=(k - 1)\cdot\Gamma(k-1);
  • \Gamma(0{,}5)=\sqrt{\pi};

константи k,\theta > 0. Тоді кажуть, що випадкова величина X має гамма-розподіл з параметрами k і \theta. Пишуть X \thicksim \Gamma(k,\theta).

Зауваження. Деколи використовують іншу параметризацію сімейства гамма-розподілів. Або вводять третій параметр — зсуву.

Моменти[ред.ред. код]

Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини X, яка має гама-розподіл, мають вигляд

\mathbb{E}[X] = k\theta,
\mathbb{D}[X] = k\theta^2.

Властивості гама-розподілу[ред.ред. код]

  • Якщо X_1,\ldots, X_n — незалежні випадкові величини, такі що X_i \sim \Gamma(k_i, \theta),\; i = 1,\ldots, n, то
 Y = \sum\limits_{i=1}^n X_i \sim \Gamma\left( \sum_{i=1}^n k_i, \theta
\right).
  • Якщо  X \thicksim \Gamma(k,\theta), і a > 0 — довільна константа, то
 aX \thicksim \Gamma( k, a\theta).

Зв'язок з іншими розподілами[ред.ред. код]

\Gamma(1,\theta) \equiv \mathrm{Exp}(\theta).
  • Якщо X_1,\ldots,X_k — незалежні експоненціальні випадкові величини, такі що X_i \sim \mathrm{Exp}(\theta),\; i = 1,\ldots, k, то
Y = \sum\limits_{i=1}^k X_i \sim \Gamma(k, \theta ).
\Gamma\left(\frac{n}{2},2\right) \equiv \chi^2(n).

Зокрема, якщо n=1, то X\sim N(0,1) і

X^2 \sim \Gamma\left(\frac{1}{2},2\right).

при великих k гамма-розподіл може бути наближений нормальним розподілом:

\Gamma(k, \theta) \approx \mathrm{N}(k\theta, k\theta^2) при

k \to \infty.

  • Якщо X_1,X_2 — незалежні випадкові величини, таки що

X_i \sim \Gamma(k_i,1),\; i=1,2, то

\frac{X_1}{X_1+X_2} \sim \mathrm{\Beta}(k_1,k_2).

Моделювання гамма-величин[ред.ред. код]

Враховуючи властивість масштабування по параметру θ, що вказана вище, достатньо змоделювати гамма-величину для θ = 1. Перехід до інших значень параметра здійснюється простим множенням.

Використовуючи той факт, що розподіл \Gamma (1, 1) збігається з експоненціальним розподілом, отримуємо, що якщо U — випадкова величина, рівномірно розподілена на інтервалі (0, 1], то \ln U \sim \Gamma (1, 1).

Тепер, використовуючи властивість k-сумування, :

 \sum_{i=1}^n {-\ln U_i} \sim \Gamma (n, 1),

де Ui — незалежні випадкові величини, рівномірно розподілені на інтервалі (0, 1].

Залишилось змоделювати гамма-величину для 0 < k < 1 і ще раз застосувати властивість k-сумування.

Нижче наведено алгоритм без доведення. Він є прикладом вибірки з відхиленням

  1. Нехай m дорівнює 1.
  2. Згенеруємо V_{2m - 1} и V_{2m} — незалежні випадкові величини, рівномірно розподілені на інтервалі (0, 1].
  3. Якщо V_{2m - 1} \le v_0, де v_0 = \frac e {e +
\delta}, перейти до кроку 4, інакше до кроку 5.
  4. Покладемо \xi_m = \left( \frac {V_{2m - 1}} {v_0} \right) ^{\frac 1
\delta}, \ \eta_m = V_{2m} \xi _m^ {\delta - 1}. Перейти до кроку 6.
  5. Покладемо \xi_m = 1 - \ln {\frac {V_{2m - 1} - v_0} {1 - v_0}}, \ \eta_m
= V_{2m} e^{-\xi_m}.
  6. Якщо \eta_m > \xi_m^{\delta - 1} e^{-\xi_m}, то залишити m

на одиницю и вернутися до кроку 2.

  1. Прийняти \xi = \xi_m за реалізацію \Gamma (\delta,
1).

Таким чином :

 \theta \left( \xi - \sum _{i=1} ^{[k]} {\ln U_i} \right) \sim \Gamma
(k, \theta),

де [k] є цілою частиною k, а ξ згенерована по алгоритму, наведеному вище при δ = {k} (дробова частина k); Ui and Vl розподілені як вказано вище і попарно незалежні.

Гамма-розподіл втрат в страхуванні[ред.ред. код]

Графік функції розподілу імовірностей при гамма-розподілі збитку
Графік щільносі розподілу імовірностей при гамма-розподілі збитку

Гама розподіл в теорії ймовірностей — це двопараметрична сім'я абсолютно неперервних розподілів. Він складається з параметрів θ і k. Якщо k — ціле тоді розподіл показує суму k незалежних експоненціально розподілених випадкових величин, кожна з яких приймає значення θ. Якщо параметр k приймає ціле значення, то такий гамма-розподіл також називається розподілом Ерланга[1].

Випадкова величина Y має гамма-розподіл з параметрами λ > 0 і α > 0, якщо

f_Y(x) = \frac 1{\Gamma(\alpha)}\lambda^\alpha x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}, x\geq0,

F_Y(x) = \frac {\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\int_0^x {t^{\alpha-1}e^{-\lambda t}}\,dt.

де Γ — гамма-функція,

\Gamma = \int_0^\infty {t^{x-1}e^{-t}}\,dt.

Середнє значення для випадкової величини, що має гамма-розподіл дорівнює

EY = \frac \alpha\lambda,

VarY = \frac \alpha\lambda^2.

При x щільність гамма-розподілу спадає швидше, ніж щільність розподілу Парето, але повільніше, ніж експоненціальна щільність. Це означає, що для однакового розміру збитку імовірність його виникнення при гамма-розподілі більше, ніж при експоненціальному розподілі, але менше, ніж при розподілі Парето. При α > 1 гамма-розподіл відповідає ситуації, коли позови в основному згруповані навколо деякого значення, а невеликі позови можливі, але малоімовірні[2].

Примітки[ред.ред. код]

  1. (англ.) Gliffy Public Diagram.
  2. Актуарні розрахунки : навчальний посібник / О. В. Козьменко, О. В. Кузьменко. — Суми: Університетська книга, 2011. — 224 с. — ISBN 978-966-680-588-4.
Bvn-small.png        Розподіли ймовірності
Одновимірні Багатовимірні
Дискретні: Бернуллі | біноміальний | геометричний | гіпергеометричний | логарифмічний | від'ємний біноміальний | Пуассона | рівномірний поліноміальний
Абсолютно неперервні: Бета | Вейбулла | Гамма | гіперекспоненційний | Колмогорова | Коші | Лапласа | Леві | логістичний | логнормальний | нормальний (Гауса) | Парето | рівномірний | Райса | Релея | Стьюдента | Фішера | хі-квадрат | експоненційний | багатовимірний нормальний