Гамма-розподіл

Щільність імовірності

Гама розподіл в теорії ймовірностей — це двопараметрична сім’я абсолютно неперервних розподілів. Він складається з параметрів θ і k. Якщо k - ціле тоді розподіл показує суму k незалежних експоненціально розподілених випадкових величин, кожна з яких приймає значення θ. Якщо параметр $k$ приймає ціле значення, то такий гамма-розподіл також називається розподілом Ерланга.

Означення

Нехай розподіл випадкової величини $X$ задається щільністю ймовірності, яка має вигляд

$f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{k-1} \frac{e^{-x/\theta}}{\theta^k \, \Gamma(k)}, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{matrix} \right.,$ де функція $\Gamma (k)$ має вигляд

$\Gamma(k)=\int\limits^\infty_0x^{k-1}e^{-x}dx$
і має наступні властивості:

• $\Gamma(k)=(k - 1)\cdot\Gamma(k-1)$;
  
• $\Gamma(0{,}5)=\sqrt{\pi}$;

константи $k,\theta > 0$. Тоді кажуть, що випадкова величина $X$ має гамма-розподіл з параметрами $k$ і $\theta$. Пишуть $X \thicksim \Gamma(k,\theta)$.

Зауваження. Деколи використовують іншу параметризацію сімейства гамма-розподілів. Або вводять третій параметр — зсуву.

Моменти

Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини $X$, яка має гама-розподіл, мають вигляд

$\mathbb{E}[X] = k\theta$,

$\mathbb{D}[X] = k\theta^2$.

Властивості гама-розподілу

• Якщо $X_1,\ldots, X_n$ — незалежні випадкові величини, такі що $X_i \sim \Gamma(k_i, \theta),\; i = 1,\ldots, n$, то

$Y = \sum\limits_{i=1}^n X_i \sim \Gamma\left( \sum_{i=1}^n k_i, \theta \right)$.

• Якщо $X \thicksim \Gamma(k,\theta)$, і $a > 0$ —

довільна константа, то

$aX \thicksim \Gamma( k, a\theta)$.

• Гамма-розподіл нескінченно ділимий.

Зв’язок з іншими розподілами

• Експоненціальний розподіл є частковим випадком гама-розподілу:

$\Gamma(1,\theta) \equiv \mathrm{Exp}(\theta)$.

• Якщо $X_1,\ldots,X_k$ — незалежні експоненціальні випадкові величини, такі що $X_i \sim \mathrm{Exp}(\theta),\; i = 1,\ldots, k$, то

$Y = \sum\limits_{i=1}^k X_i \sim \Gamma(k, \theta )$.

• Розподіл хі-квадрат є частинним випадком гамма-розподілу:

$\Gamma\left(\frac{n}{2},2\right) \equiv \chi^2(n)$.

Зокрема, якщо $n=1$, то $X\sim N(0,1)$ і

$X^2 \sim \Gamma\left(\frac{1}{2},2\right)$.

• Згідно з центральною граничною теоремою,

при великих $k$ гамма-розподіл може бути наближений нормальним розподілом:

$\Gamma(k, \theta) \approx \mathrm{N}(k\theta, k\theta^2)$ при

$k \to \infty$.

• Якщо $X_1,X_2$ — незалежні випадкові величини, таки що

$X_i \sim \Gamma(k_i,1),\; i=1,2$, то

$\frac{X_1}{X_1+X_2} \sim \mathrm{\Beta}(k_1,k_2)$.

Моделювання гамма-величин

Враховуючи властивість масштабування по параметру θ, що вказана вище, достатньо змоделювати гамма-величину для θ = 1. Перехід до інших значень параметра здійснюється простим множенням.

Використовуючи той факт, що розподіл $\Gamma (1, 1)$ збігається з експоненціальним розподілом, отримуємо, що якщо U — випадкова величина, рівномірно розподілена на інтервалі (0, 1], то $\ln U \sim \Gamma (1, 1)$.

Тепер, використовуючи властивість k-сумування, :

$\sum_{i=1}^n {-\ln U_i} \sim \Gamma (n, 1),$

де U_i — незалежні випадкові величини, рівномірно розподілені на інтервалі (0, 1].

Залишилось змоделювати гамма-величину для 0 < k < 1 і ще раз застосувати властивість k-сумування.

Нижче наведено алгоритм без доведення. Він є прикладом вибірки з відхиленням

1. Нехай m дорівнює 1.
2. Згенеруємо $V_{2m - 1}$ и $V_{2m}$ — незалежні випадкові величини, рівномірно розподілені на інтервалі (0, 1].
3. Якщо $V_{2m - 1} \le v_0$, де $v_0 = \frac e {e + \delta}$, перейти до кроку 4, інакше до кроку 5.
4. Покладемо $\xi_m = \left( \frac {V_{2m - 1}} {v_0} \right) ^{\frac 1 \delta}, \ \eta_m = V_{2m} \xi _m^ {\delta - 1}$. Перейти до кроку 6.
5. Покладемо $\xi_m = 1 - \ln {\frac {V_{2m - 1} - v_0} {1 - v_0}}, \ \eta_m = V_{2m} e^{-\xi_m}$.
6. Якщо $\eta_m > \xi_m^{\delta - 1} e^{-\xi_m}$, то залишити m

на одиницю и вернутися до кроку 2.

1. Прийняти $\xi = \xi_m$ за реалізацию $\Gamma (\delta, 1)$.

Таким чином :

$\theta \left( \xi - \sum _{i=1} ^{[k]} {\ln U_i} \right) \sim \Gamma (k, \theta),$

де [k] є цілою частиною k, а ξ згенерована по алгоритму, наведеному вище при δ = {k} (дробова частина k); U_i and V_l розподілені як вказано вище і попарно незалежні.