Розподіл Хі

Хі
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	$k>0\,$ (ступені свободи)
Носій функції	$x\in [0,\infty )$
Розподіл імовірностей	${\frac {1}{2^{(k/2)-1}\Gamma (k/2)}}\;x^{k-1}e^{-x^{2}/2}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	$P(k/2,x^{2}/2)\,$
Середнє	$\mu ={\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}$
Медіана	$\approx {\sqrt {k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}}}$
Мода	${\sqrt {k-1}}\,$ for $k\geq 1$
Дисперсія	$\sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,$
Коефіцієнт асиметрії	$\gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3}}}\,(1-2\sigma ^{2})$
Коефіцієнт ексцесу	${\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})$
Ентропія	$\ln(\Gamma (k/2))+\,$ ${\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi _{0}(k/2))$
Твірна функція моментів (mgf)	Складна (див. текст)
Характеристична функція	Складна (див. текст)

У теорії ймовірностей та статистиці розподіл хі є неперервним розподілом ймовірностей. Це розподіл додатньої частини квадратного кореня з суми квадратів набору незалежних випадкових величин, кожна з яких має стандартний нормальний розподіл, або ж еквівалентно, розподіл евклідової відстані випадкових величин від початку координат. Таким чином, це пов'язано з розподілом хі-квадрат, описуючи розподіл додаткової частини квадратного кореня випадкової величини, що має розподіл хі-квадрат.

Якщо $Z_{1},\ldots ,Z_{k}$ - $k$ незалежних, нормально розподіленмх випадкових величини із середнім значенням 0 та стандартним відхиленням 1, тоді статистика

$Y={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2}}}$

має розподіл хі. Розподіл хі має один параметр, $k$, яка визначає кількість ступенів свободи (тобто кількість $Z_{i}$).

Найвідоміші приклади - розподіл Релея (розподіл хі з двома ступенями свободи ) та розподіл Максвелла – Больцмана молекулярних швидкостей в ідеальному газі (розподіл хі з трьома ступенями свободи).

Означення

Функція щільності

Функція густини ймовірності (pdf) хі-розподілу записується

$f(x;k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{2^{k/2-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x\geq 0;\\0,&{\text{інакше}}.\end{cases}}$

де $\Gamma (z)$ є гамма-функція.

Функція розподілу

Функція розподілу задається:

$F(x;k)=P(k/2,x^{2}/2)\,$

де $P(k,x)$ - регуляризована гамма-функція.

Твірна функція

Твірна функція моментів задається:

$M(t)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right)+t{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right),$

де $M(a,b,z)$ є зливною гіпергеометричною функцією Куммера. Характеристична функція задається:

$\varphi (t;k)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right)+it{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right)$.

Властивості

Моменти

Початкові моменти задаються:

$\mu _{j}=\int _{0}^{\infty }f(x;k)x^{j}dx=2^{j/2}{\frac {\Gamma ((k+j)/2)}{\Gamma (k/2)}}$

де $\Gamma (z)$ є гамма-функція. Одже, перші кілька моментів:

$\mu _{1}={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!1)/2)}{\Gamma (k/2)}}$

$\mu _{2}=k\,$

$\mu _{3}=2{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!3)/2)}{\Gamma (k/2)}}=(k+1)\mu _{1}$

$\mu _{4}=(k)(k+2)\,$

$\mu _{5}=4{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!5)/2)}{\Gamma (k/2)}}=(k+1)(k+3)\mu _{1}$

$\mu _{6}=(k)(k+2)(k+4)\,$

де найправіші вирази виводяться за допомогою рекуренткого відношення гамма-функції:

$\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)\,$

З цих виразів ми можна вивести наступні співвідношення:

Середнє: $\mu ={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}$

Дисперсія: $V=k-\mu ^{2}\,$

Асиметрія: $\gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3}}}\,(1-2\sigma ^{2})$

Компенсований ексцес: $\gamma _{2}={\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})$

Ентропія

Ентропія задається рівнянням:

$S=\ln(\Gamma (k/2))+{\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi ^{0}(k/2))$

де $\psi ^{0}(z)$ - функція полігамми .

Наближення для великих n

Виведемо формули наближень середнього та дисперсії розподілу хі для великих n = k + 1. Вони мають практичне застосування, наприклад, для пошуку розподілу середньоквадратичного відхилення вибірки нормально розподіленої сукупності, де n - обсяг вибірки.

Тоді середнє значення:

$\mu ={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma ((n-1)/2)}}$

Застосувавши формулу дублювання Лежандра можемо подати:

$2^{n-2}\,\Gamma ((n-1)/2)\cdot \Gamma (n/2)={\sqrt {\pi }}\Gamma (n-1)$ ,

тож:

$\mu ={\sqrt {2/\pi }}\,2^{n-2}\,{\frac {(\Gamma (n/2))^{2}}{\Gamma (n-1)}}$

Використовуючи наближення Стірлінга для гамма-функції, отримаємо наступний запис середнього:

$\mu ={\sqrt {2/\pi }}\,2^{n-2}\,{\frac {\left({\sqrt {2\pi }}(n/2-1)^{n/2-1+1/2}e^{-(n/2-1)}\cdot [1+{\frac {1}{12(n/2-1)}}+O({\frac {1}{n^{2}}})]\right)^{2}}{{\sqrt {2\pi }}(n-2)^{n-2+1/2}e^{-(n-2)}\cdot [1+{\frac {1}{12(n-2)}}+O({\frac {1}{n^{2}}})]}}$

$=(n-2)^{1/2}\,\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]={\sqrt {n-1}}\,(1-{\frac {1}{n-1}})^{1/2}\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]$

$={\sqrt {n-1}}\,\cdot \left[1-{\frac {1}{2n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]\,\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]$

$={\sqrt {n-1}}\,\cdot \left[1-{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]$

Отже, дисперсія задається:

$V=(n-1)-\mu ^{2}\,=(n-1)\cdot {\frac {1}{2n}}\,\cdot \left[1+O({\frac {1}{n}})\right]$

Пов’язані розподіли

• Якщо $X\sim \chi _{k}$ тоді $X^{2}\sim \chi _{k}^{2}$ (розподіл хі-квадрат)
• $\lim _{k\to \infty }{\tfrac {\chi _{k}-\mu _{k}}{\sigma _{k}}}\xrightarrow {d} \ N(0,1)\,$ (Нормальний розподіл)
• Якщо $X\sim N(0,1)\,$ тоді $|X|\sim \chi _{1}\,$
• Якщо $X\sim \chi _{1}\,$ тоді $\sigma X\sim HN(\sigma )\,$ (напівнормальний розподіл) для будь-якого $\sigma >0\,$
• $\chi _{2}\sim \mathrm {Rayleigh} (1)\,$ (Розподіл Релея)
• $\chi _{3}\sim \mathrm {Maxwell} (1)\,$ (Розподіл Максвелла)
• $\|{\boldsymbol {N}}_{i=1,\ldots ,k}{(0,1)}\|_{2}\sim \chi _{k}$ (2-норма $k$ стандартним нормально розподіленим змінним є розподіл хі з $k$ ступені свободи)
• розподіл хі - це окремий випадок узагальненого гамма розподілу або розподілу Накагамі або нецентрального розподілу чі
• Середнє значення розподілу хі (масштабоване квадратним коренем з $n-1$) дає корегувальний коефіцієнт для незміщеної оцінки середньоквадратичного відхилення нормального розподілу.

Різні хі та хі-квадрат розподіли

Name	Statistic
Розподіл хі-квадрат	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
Нецентрований хі-квадрат розподіл	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
Розподіл хі	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$
Нецентрований хі розподіл	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$

Див. також

• Розподіл Накаґамі

Список літератури

• Martha L. Abell, James P. Braselton, John Arthur Rafter, John A. Rafter, Statistics with Mathematica (1999), 237f. [Архівовано 21 червня 2018 у Wayback Machine.]
• Jan W. Gooch, Encyclopedic Dictionary of Polymers vol. 1 (2010), Appendix E, p. 972 [Архівовано 31 січня 2021 у Wayback Machine.].

Зовнішні посилання

• http://mathworld.wolfram.com/ChiDistribution.html [Архівовано 6 травня 2021 у Wayback Machine.]