Бета-розподіл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Функція ймовірностей
Функція розподілу
Функція розподілу ймовірностей
{{{cdf_image}}}
Параметри \alpha > 0
\beta > 0
Носій функції x \in [0, 1]\!
Розподіл ймовірностей \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!
Функція розподілу ймовірностей (cdf) I_x(\alpha,\beta)\!
Середнє \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!
Медіана
Мода \frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\! для \alpha>1, \beta>1
Дисперсія \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!
Коефіцієнт асиметрії \frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}
Коефіцієнт ексцесу 6\,\frac{\alpha^3-\alpha^2(2\beta-1)+\beta^2(\beta+1)-2\alpha\beta(\beta+2)}
{\alpha \beta (\alpha+\beta+2) (\alpha+\beta+3)}\!
Ентропія
Твірна функція моментів (mgf) 1  +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}
Характеристична функція {}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\!

Бета-розподіл  — в теорії імовірностей і статистиці двопараметрична сім'я абсолютно неперервних розподілів.

Означення[ред.ред. код]

Нехай розподіл випадкової величини X задаєтся щільністю імовірності f_X, яка має вигляд:

f_X(x) = \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha, \beta)}\, x^{\alpha - 1}
(1-x)^{\beta - 1},

де

Тоді випадкова величина X має бета-розподіл. Пишуть: X
\sim \mathrm{B}(\alpha,\beta).

Форма графіка[ред.ред. код]

Форма графіка щільності імовірності бета-розподілу залежить від вибору параметрів \alpha і \beta.

прямує до нескінченності на границях (червона крива);

  • \alpha < 1,\ \beta \geq 1 чи \alpha = 1,\ \beta > 1

— графік строго спадний (синя крива)

  • \alpha = 1,\ \beta = 1 графік збігається з графіком щільності

стандартного неперервного рівномірного розподілу;

  • \alpha = 1,\ \beta < 1 или \alpha > 1,\ \beta \leq 1

— графік строго зростаючий (зелена крива);

    • \alpha > 2,\ \beta = 1 — графік строго випуклий;
    • \alpha = 2,\ \beta = 1 — графік являєтсья прямою линією;
    • 1 < \alpha < 2,\ \beta = 1 — графік строго ввігнутий;
  • \alpha > 1,\ \beta > 1 — график [[Унимодальная

функция|унимодальный]] (пурпурная и чёрная кривые)

У випадку, коли \alpha = \beta, щільність імовірності симетична відносно 1/2 (червона і пурпурная кривые), то

f_X(x-1/2) = f_X(x+1/2),\; x\in [0,1/2].

Моменти[ред.ред. код]

Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини X, яка має бета-розподіл, мають вигляд вигляд:

\mathbb{E}[X] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta} ,
\mathrm{D}[X] = \frac{\alpha
\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}.

Зв'язок з іншими розподілами[ред.ред. код]

  • Стандартний неперервний рівномірний розподіл є частковим випадком

бета-розподілу:

\mathrm{U}[0,1] \equiv \mathrm{B}(1,1)

X,Y — незалежні гамма розподілені випадкові величини, причому X
\sim \mathrm{\Gamma}(\alpha,1), а Y \sim
\mathrm{\Gamma}(\beta,1), то

\frac{X}{X+Y} \sim \mathrm{B}(\alpha, \beta) .
Bvn-small.png        Розподіли ймовірності
Одновимірні Багатовимірні
Дискретні: Бернуллі | біноміальний | геометричний | гіпергеометричний | логарифмічний | від'ємний біноміальний | Пуассона | рівномірний поліноміальний
Абсолютно неперервні: Бета | Вейбулла | Гамма | гіперекспоненційний | Колмогорова | Коші | Лапласа | Леві | логістичний | логнормальний | нормальний (Гауса) | Парето | рівномірний | Райса | Релея | Стьюдента | Фішера | хі-квадрат | експоненційний | багатовимірний нормальний