Бета-розподіл

Функція ймовірностей Щільність імовірності Функція розподілу
Функція розподілу ймовірностей {{{cdf_image}}}
Параметри	$\alpha > 0$ $\beta > 0$
Носій функції	$x \in [0, 1]\!$
Розподіл ймовірностей	$\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	$I_x(\alpha,\beta)\!$
Середнє	$\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!$
Медіана
Мода	$\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\!$ для $\alpha>1, \beta>1$
Дисперсія	$\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!$
Коефіцієнт асиметрії	$\frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}$
Коефіцієнт ексцесу	$6\,\frac{\alpha^3-\alpha^2(2\beta-1)+\beta^2(\beta+1)-2\alpha\beta(\beta+2)} {\alpha \beta (\alpha+\beta+2) (\alpha+\beta+3)}\!$
Ентропія
Твірна функція моментів (mgf)	$1 +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}$
Характеристична функція	${}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\!$

Бета-розподіл  — в теорії імовірностей і статистиці двопараметрична сім'я абсолютно неперервних розподілів.

Означення

Нехай розподіл випадкової величини $X$ задаєтся щільністю імовірності $f_X$, яка має вигляд:

$f_X(x) = \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha, \beta)}\, x^{\alpha - 1} (1-x)^{\beta - 1}$,

де

• $\alpha, \beta > 0$ довільні фіксовані параметри, і
• $\mathrm{B}(\alpha,\beta) = \int\limits_0^1 x^{\alpha - 1} (1-x)^{\beta - 1}\, dx$ — бета-функция.

Тоді випадкова величина $X$ має бета-розподіл. Пишуть: $X \sim \mathrm{B}(\alpha,\beta)$.

Форма графіка

Форма графіка щільності імовірності бета-розподілу залежить від вибору параметрів $\alpha$ і $\beta$.

• $\alpha < 1,\ \beta < 1$ — графік випуклий і

прямує до нескінченності на границях (червона крива);

• $\alpha < 1,\ \beta \geq 1$ чи $\alpha = 1,\ \beta > 1$

— графік строго спадний (синя крива)

• • $\alpha = 1,\ \beta > 2$ — графік строго випуклий;
  • $\alpha = 1,\ \beta = 2$ — графік є прямою лінїєю;
  • $\alpha = 1,\ 1 < \beta < 2$ — графік строго ввігнутий;
• $\alpha = 1,\ \beta = 1$ графік збігається з графіком щільності

стандартного неперервного рівномірного розподілу;

• $\alpha = 1,\ \beta < 1$ или $\alpha > 1,\ \beta \leq 1$

— графік строго зростаючий (зелена крива);

• • $\alpha > 2,\ \beta = 1$ — графік строго випуклий;
  • $\alpha = 2,\ \beta = 1$ — графік являєтсья прямою линією;
  • $1 < \alpha < 2,\ \beta = 1$ — графік строго ввігнутий;
• $\alpha > 1,\ \beta > 1$ — график [[Унимодальная

функция|унимодальный]] (пурпурная и чёрная кривые)

У випадку, коли $\alpha = \beta$, щільність імовірності симетична відносно $1/2$ (червона і пурпурная кривые), то

$f_X(x-1/2) = f_X(x+1/2),\; x\in [0,1/2]$.

Моменти

Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини $X$, яка має бета-розподіл, мають вигляд вигляд:

$\mathbb{E}[X] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}$,

$\mathrm{D}[X] = \frac{\alpha \beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$.

Зв'язок з іншими розподілами

• Стандартний неперервний рівномірний розподіл є частковим випадком

бета-розподілу:

$\mathrm{U}[0,1] \equiv \mathrm{B}(1,1)$

$X,Y$ — незалежні гамма розподілені випадкові величини, причому $X \sim \mathrm{\Gamma}(\alpha,1)$, а $Y \sim \mathrm{\Gamma}(\beta,1)$, то

$\frac{X}{X+Y} \sim \mathrm{B}(\alpha, \beta)$ .