Бета-негативний біноміальний розподіл

Beta Negative Binomial
Параметри	$\alpha >0$ форма (дійсний) $\beta >0$ дійсний (real) $r>0$ — число успіхів до зупинки експерименту (ціле, але можна розширити на дійсні числа)
Носій функції	$k\in \{0,1,2,\ldots \}$
Розподіл імовірностей	${\frac {\mathrm {B} (r+k,\alpha +\beta )}{\mathrm {B} (r,\alpha )}}{\frac {\Gamma (k+\beta )}{k!\;\Gamma (\beta )}}$
Середнє	${\begin{cases}{\frac {r\beta }{\alpha -1}}&{\text{якщо}}\ \alpha >1\\\infty &{\text{інакше}}\ \end{cases}}$
Дисперсія	${\begin{cases}{\frac {r(\alpha +r-1)\beta (\alpha +\beta -1)}{(\alpha -2){(\alpha -1)}^{2}}}&{\text{якщо}}\ \alpha >2\\\infty &{\text{інакше}}\ \end{cases}}$
Коефіцієнт асиметрії	${\begin{cases}{\frac {(\alpha +2r-1)(\alpha +2\beta -1)}{(\alpha -3){\sqrt {\frac {r(\alpha +r-1)\beta (\alpha +\beta -1)}{\alpha -2}}}}}&{\text{якщо}}\ \alpha >3\\\infty &{\text{інакше}}\ \end{cases}}$
Твірна функція моментів (mgf)	не існує
Характеристична функція	${\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta +r)\Gamma (\alpha )}}{}_{2}F_{1}(r,\beta ;\alpha +\beta +r;e^{it})\!$ де $\Gamma$ — гамма-функція і ${}_{2}F_{1}$ — гіпергеометрична функція.

У теорії ймовірностей бета-негативний біноміальний розподіл є розподілом ймовірностей дискретної випадкової величини $X$, що дорівнює кількості відмов, необхідних для отримання $r$ успіхів в серії незалежних випробувань Бернуллі. Ймовірність $p$ успіху в кожному випробуванні залишається незмінним у межах будь-якого експерименту, але змінюється в різних експериментах згідно бета-розподілу. Отже, розподіл є складеним розподілом ймовірностей.

Цей розподіл також називають зворотним розподілом Маркова-Пойя та узагальненим розподілом Варінга. Зміщену форму розподілу називають бета-розподілом Паскаля.

Якщо параметри бета-розподілу є $\alpha$ і $\beta$, і якщо

$X\mid p\sim \mathrm {NB} (r,p),$

де

$p\sim {\textrm {B}}(\alpha ,\beta ),$

тоді граничний розподіл $X$ має бета-негативний біноміальний розподіл:

$X\sim \mathrm {BNB} (r,\alpha ,\beta ).$

У наведеному вище, $\mathrm {NB} (r,p)$ є від’ємним біноміальним розподілом і ${\textrm {B}}(\alpha ,\beta )$ є бета-розподіл.

Означення

Якщо $r$ — ціле число, тоді функцію ймовірностей можна записати через бета-функцію:

$f(k|\alpha ,\beta ,r)={\binom {r+k-1}{k}}{\frac {\mathrm {B} (\alpha +r,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}$ .

Узагальнюючи можна записати

$f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\;\Gamma (r)}}{\frac {\mathrm {B} (\alpha +r,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}$

або

$f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\mathrm {B} (r+k,\alpha +\beta )}{\mathrm {B} (r,\alpha )}}{\frac {\Gamma (k+\beta )}{k!\;\Gamma (\beta )}}$ .

Функція ймовірностей, виражена через гамма функцію

Використовуючи властивості бета-функції, функція ймовірності для цілого $r$ можна переписати наступним чином:

$f(k|\alpha ,\beta ,r)={\binom {r+k-1}{k}}{\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (\beta +k)\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha +r+\beta +k)\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}$ .

У більш загальному вигляді можна записати

$f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\;\Gamma (r)}}{\frac {\Gamma (\alpha +r)\Gamma (\beta +k)\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha +r+\beta +k)\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}$ .

Вираження через символи Похамера

Функція ймовірностей часто також можна подати в термінах символів Похамера для цілого числа $r$

$f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {r^{(k)}\alpha ^{(r)}\beta ^{(k)}}{k!(\alpha +\beta )^{(r+k)}}}$

Властивості

Неідентифіковність

Бета-негативний біноміальний розподіл є неідентифіковним, що можна легко помітити, просто міняючи місцями $r$ і $\beta$ у наведеній вище функції ймовірності чи характеристичній функції та відзначити, що вони незмінюються. Отже, оцінка вимагає встановлення обмежень на котрийсь з параметрів $r$, $\beta$ або й на обидва.

Зв'язок з іншими розподілами

Бета-негативний біноміальний розподіл містить бета-геометричний розподіл як окремий випадок, коли $r=1$ . Тому він може як завгодно добре апроксимувати геометричний розподіл. Він також дуже добре апроксимує негативний біноміальний розподіл для великих $\alpha$ і $\beta$. Тому він може як завгодно добре апроксимувати розподіл Пуассона для великих $\alpha$, $\beta$ і $r$.

Важкохвостий

За допомогою наближення Стірлінга бета-функції можна легко показати, що для великих $k$

$f(k|\alpha ,\beta ,r)\sim {\frac {\Gamma (\alpha +r)}{\Gamma (r)\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\frac {k^{r-1}}{(\beta +k)^{r+\alpha }}}$

це означає, що бета-негативний біноміальний розподіл має важкі хвости і що моменти менші або рівні $\alpha$ не існують.

Бета-геометричний розподіл

Бета-геометричний розподіл є важливим окремим випадком бета-негативного біноміального розподілу, що виникає при $r=1$. У цьому випадку функція ймовірності спрощується до

$f(k|\alpha ,\beta )={\frac {\mathrm {B} (\alpha +1,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}$.

Цей розподіл використовується в моделях Buy Till You Die (BTYD).

Далі, коли $\beta =1$ бета-геометричний розподіл зводиться до розподілу Юля-Саймона. Однак більш поширеним є означення розподілу Юля-Саймона в термінах зміщеної версії бета-геометричного розподілу. Зокрема, якщо $X\sim BG(\alpha ,1)$ потім $X+1\sim YS(\alpha )$.

Див. також

• Негативний біноміальний розподіл
• Негативний мультиноміальний розподіл Діріхле

Список літератури

• Johnson, N.L.; Kotz, S.; Kemp, A.W. (1993) Univariate Discrete Distributions, 2nd edition, Wiley ISBN 0-471-54897-9 (Section 6.2.3)
• Kemp, C.D.; Kemp, A.W. (1956) "Generalized hypergeometric distributions, Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 18, 202–211
• Wang, Zhaoliang (2011) "One mixed negative binomial distribution with application", Journal of Statistical Planning and Inference, 141 (3), 1153-1160 DOI:10.1016/j.jspi.2010.09.020

Зовнішні посилання

• Інтерактивна графіка: однофакторні співвідношення розподілу