Розподіл Рейлі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Розподіл Релея

Plot of the Rayleigh PDF
Функція розподілу ймовірностей
Plot of the Rayleigh CDF
Параметри \sigma>0\,
Носій функції x\in [0;\infty)
Розподіл ймовірностей \frac{x}{\sigma^2} e^{-x^2/2\sigma^2}
Функція розподілу ймовірностей (cdf) 1 - e^{-x^2/2\sigma^2}
Середнє \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}
Медіана \sigma\sqrt{\ln(4)}\,
Мода \sigma\,
Дисперсія \frac{4 - \pi}{2} \sigma^2
Коефіцієнт асиметрії \frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}}
Коефіцієнт ексцесу -\frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2}
Ентропія 1+\ln\left(\frac{\sigma}{\sqrt{2}}\right)+\frac{\gamma}{2}
Твірна функція моментів (mgf) 1+\sigma t\,e^{\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\left(\textrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!+\!1\right)
Характеристична функція 1\!-\!\sigma te^{-\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\!\left(\textrm{erfi}\!\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!-\!i\right)

Розподіл Рейлі або розподіл Релея — це розподіл імовірностей випадкової величини \displaystyle X із щільністю

f(x;\sigma) = \frac{x}{\sigma^2} \exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right),x\geqslant0,\sigma>0,

де \displaystyle\sigma - параметр масштабу. Відповідна функція розподілу має вигляд

\mathsf P(X\leqslant x)=\int\limits_0^xf(\xi)\,d\xi=1-\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right),x\geqslant0.

Введено вперше в 1880 р. Джоном Вільямом Стреттом (лордом Релеєм) у зв'язку з задачею додавання гармонійних коливань з випадковими фазами.

Властивості[ред.ред. код]

Моменти випадкової величини з розподілом Релея обчислюються за формулою:

\mu_k=\sigma^k2^{k/2}\,\Gamma(1+k/2)\,

де \Gamma(z)Гамма-функція.

Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини з розподілом Релея виражається як:

\mu(X) = \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}\ \approx 1.253 \sigma,

і

\textrm{var}(X) = \frac{4 - \pi}{2} \sigma^2\  \approx 0.429 \sigma^2.

Мода дорівнює \sigma , а максимум щільності

  f_\text{max} = f(\sigma;\sigma) = \frac{1}{\sigma} \exp{-\frac{1}{2}} \approx \frac{0.606}{\sigma}

Коефіцієнт асиметрії задається як:

\gamma_1=\frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}}  \approx 0.631.

Формула для обчислення коефіцієнта ексцесу:

\gamma_2=-\frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2}   \approx 0.245.

Характеристична функція задається формулою:

\varphi(t)=1\!-\!\sigma te^{-\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\!\left(\textrm{erfi}\!\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!-\!i\right)

де \operatorname{erfi}(z) — коомплексна функція помилок. Формула для твірної функції моментів

M(t)=\,
1+\sigma t\,e^{\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\left(\textrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!+\!1\right),

де \operatorname{erf}(z)функція помилок.

Ентропія інформації[ред.ред. код]

Ентропія інформації задається як

H=1+\ln\left(\frac{\sigma}{\sqrt{2}}\right)+\frac{\gamma}{2}

де \gammaстала Ейлера — Маскероні.

Застосування[ред.ред. код]

  • У задачах про пристрілювання гармат. Якщо відхилення від цілі для двох взаємно перпендикулярних напрямків нормально розподілені і некорельовані, координати цілі збігаються з початком координат, то позначивши розкид по осях за X і Y, отримаємо вираз величини промаху у формі R=\sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}. У цьому випадку величина R має розподіл Релея.
  • У радіотехніці для опису амплітудних флуктуацій радіосигналу.
  • Щільність розподілу випромінювання абсолютно чорного тіла по частотах.

Зв'язок з іншими розподілами[ред.ред. код]

  • Якщо {X} і {Y} - незалежні випадкові величини з розподілом Гауса, що мають нульові математичні сподівання і однакові дисперсії {{\sigma }^{2}}, то випадкова величина Z=\sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}} має розподіл Релея.
  • Якщо незалежні Гаусівскі випадкові величини {X} і {Y} мають ненульові математичні сподівання, у загальному випадку нерівні, то розподіл Релея переходить у розподіл Райса.
  • Щільність розподілу квадрата рейлівскої величини з {\sigma=1} має розподіл хі-квадрат із двома ступенями свободи.

Див. також[ред.ред. код]

Bvn-small.png        Розподіли ймовірності
Одновимірні Багатовимірні
Дискретні: Бернуллі | біноміальний | геометричний | гіпергеометричний | логарифмічний | від'ємний біноміальний | Пуассона | рівномірний поліноміальний
Абсолютно неперервні: Бета | Вейбулла | Гамма | гіперекспоненційний | Колмогорова | Коші | Лапласа | Леві | логістичний | логнормальний | нормальний (Гауса) | Парето | рівномірний | Райса | Релея | Стьюдента | Фішера | хі-квадрат | експоненційний | багатовимірний нормальний