Розподіл Рейлі

Розподіл Релея

Функція розподілу ймовірностей
Параметри	$\sigma>0\,$
Носій функції	$x\in [0;\infty)$
Розподіл ймовірностей	$\frac{x}{\sigma^2} e^{-x^2/2\sigma^2}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	$1 - e^{-x^2/2\sigma^2}$
Середнє	$\sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}$
Медіана	$\sigma\sqrt{\ln(4)}\,$
Мода	$\sigma\,$
Дисперсія	$\frac{4 - \pi}{2} \sigma^2$
Коефіцієнт асиметрії	$\frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}}$
Коефіцієнт ексцесу	$-\frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2}$
Ентропія	$1+\ln\left(\frac{\sigma}{\sqrt{2}}\right)+\frac{\gamma}{2}$
Твірна функція моментів (mgf)	$1+\sigma t\,e^{\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}} \left(\textrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!+\!1\right)$
Характеристична функція	$1\!-\!\sigma te^{-\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\!\left(\textrm{erfi}\!\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!-\!i\right)$

Розподіл Рейлі або розподіл Релея — це розподіл імовірностей випадкової величини $\displaystyle X$ із щільністю

$f(x;\sigma) = \frac{x}{\sigma^2} \exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right),x\geqslant0,\sigma>0,$

де $\displaystyle\sigma$ - параметр масштабу. Відповідна функція розподілу має вигляд

$\mathsf P(X\leqslant x)=\int\limits_0^xf(\xi)\,d\xi=1-\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right),x\geqslant0.$

Введено вперше в 1880 р. Джоном Вільямом Стреттом (лордом Релеєм) у зв'язку з задачею додавання гармонійних коливань з випадковими фазами.

Властивості

Моменти випадкової величини з розподілом Релея обчислюються за формулою:

$\mu_k=\sigma^k2^{k/2}\,\Gamma(1+k/2)\,$

де $\Gamma(z)$ — Гамма-функція.

Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини з розподілом Релея виражається як:

$\mu(X) = \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}\ \approx 1.253 \sigma,$

і

$\textrm{var}(X) = \frac{4 - \pi}{2} \sigma^2\ \approx 0.429 \sigma^2.$

Мода дорівнює $\sigma$, а максимум щільності

$f_\text{max} = f(\sigma;\sigma) = \frac{1}{\sigma} \exp{-\frac{1}{2}} \approx \frac{0.606}{\sigma}$

Коефіцієнт асиметрії задається як:

$\gamma_1=\frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}} \approx 0.631.$

Формула для обчислення коефіцієнта ексцесу:

$\gamma_2=-\frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2} \approx 0.245.$

Характеристична функція задається формулою:

$\varphi(t)=1\!-\!\sigma te^{-\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\!\left(\textrm{erfi}\!\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!-\!i\right)$

де $\operatorname{erfi}(z)$ — коомплексна функція помилок. Формула для твірної функції моментів

$M(t)=\,$

$1+\sigma t\,e^{\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}} \left(\textrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!+\!1\right),$

де $\operatorname{erf}(z)$ —функція помилок.

Ентропія інформації

Ентропія інформації задається як

$H=1+\ln\left(\frac{\sigma}{\sqrt{2}}\right)+\frac{\gamma}{2}$

де $\gamma$ — стала Ейлера — Маскероні.

Застосування

• У задачах про пристрілювання гармат. Якщо відхилення від цілі для двох взаємно перпендикулярних напрямків нормально розподілені і некорельовані, координати цілі збігаються з початком координат, то позначивши розкид по осях за $X$ і $Y$, отримаємо вираз величини промаху у формі $R=\sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}$. У цьому випадку величина $R$ має розподіл Релея.
• У радіотехніці для опису амплітудних флуктуацій радіосигналу.
• Щільність розподілу випромінювання абсолютно чорного тіла по частотах.

Зв'язок з іншими розподілами

• Якщо ${X}$ і ${Y}$ - незалежні випадкові величини з розподілом Гауса, що мають нульові математичні сподівання і однакові дисперсії ${{\sigma }^{2}}$, то випадкова величина $Z=\sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}$ має розподіл Релея.
• Якщо незалежні Гаусівскі випадкові величини ${X}$ і ${Y}$ мають ненульові математичні сподівання, у загальному випадку нерівні, то розподіл Релея переходить у розподіл Райса.
• Щільність розподілу квадрата рейлівскої величини з ${\sigma=1}$ має розподіл хі-квадрат із двома ступенями свободи.

Див. також

• Розподіл хі-квадрат
• Розподіл Райса