Поліноміальний розподіл

Поліноміальний розподіл

Щільність розподілу
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	$n > 0$ $p_1, \ldots p_k$ ($\Sigma p_i = 1$)
Носій функції	$X_i \in \{0,\dots,n\}$ $\Sigma X_i = n\!$
Розподіл ймовірностей	$\frac{n!}{x_1!\cdots x_k!} p_1^{x_1} \cdots p_k^{x_k}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)
Середнє	$E\{X_i\} = np_i$
Медіана
Мода
Дисперсія	${\mathrm{Var}}(X_i) = n p_i (1-p_i)$ ${\mathrm{Cov}}(X_i,X_j) = - n p_i p_j$ ($i\neq j$)
Коефіцієнт асиметрії
Коефіцієнт ексцесу
Ентропія
Твірна функція моментів (mgf)	$\left( \sum_{i=1}^k p_i e^{t_i} \right)^n$
Характеристична функція

У теорії імовірностей поліноміальний розподіл є узагальненням біноміального розподілу. Біноміальний розподіл є розподілом ймовірностей числа успіхів у незалежній схемі випробувань Бернуллі, з тією ж самою імовірністю успіху в кожному випробуванні.

Означення

Нехай $X_1,\ldots, X_n$ — незалежні однаково розподілені випадкові величини, такі, що їх розподіл задається функцією імовірності:

$\mathbb{P}(X_i = j) = p_j,\; j=1,\ldots, k$.

Інтуїтивно подія $\{X_i = j\}$ означає, що дослід з номером $i$ привів до $j$. Нехай випадкова величина $Y_j$ дорівнює кількості дослідів, що приводять до результату $j$:

$Y_j = \sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{\{X_i = j\}},\; j = 1,\ldots, k$.

Тоді розподіл вектора $\mathbf{Y} = (Y_1,\ldots,Y_k)^{\top}$ Має функцію імовірності

$p_{\mathbf{Y}}(\mathbf{y}) = \left\{ \begin{matrix} {n \choose {y_1 \ldots y_k}} p_1^{y_1}\ldots p_k^{y_k}, & \sum\limits_{j=1}^k y_i = n \\ 0, & \sum\limits_{j=1}^k y_i \not= n \end{matrix} \right., \quad \mathbf{y} = (y_1,\ldots, y_k)^{\top} \in \mathbb{N}^k_0$,

де

${n \choose {y_1 \ldots y_k}} \equiv \frac{n!}{y_1! \ldots y_k!}$ —

мультиноміальний коефіцієнт.

Вектор середніх і матриця коваріації

Математичне сподівання випадкової величини $Y_j$ має вигляд: $\mathbb{E}[Y_j] = np_j$. Діагональні елементи матриці коваріації $\Sigma = (\sigma_{ij})$ є дисперсіями біноміальних випадкових величин, а тому

$\sigma_{jj}=\mathrm{D}[Y_j] = np_j(1-p_j),\; j =1,\ldots, k$.

Для інших елементів маємо

$\sigma_{ij} = \mathrm{cov}(Y_i,Y_j) = -np_ip_j,\; i \not= j$.

Ранг матриці коваріації мультиноміального розподілу дорівнює $k-1$.

Дивіться також

• Біноміальний розподіл
• Закон розподілу
• Розподіл ймовірностей
• Функція розподілу ймовірностей