Обернений гамма розподіл

Обернений гамма
Щільність розподілу
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	$\alpha >0$ форма (дійсне) $\beta >0$ масштаб (дійсне)
Носій функції	$x\in (0,\infty )\!$
Розподіл імовірностей	${\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{-\alpha -1}\exp \left(-{\frac {\beta }{x}}\right)$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	${\frac {\Gamma (\alpha ,\beta /x)}{\Gamma (\alpha )}}\!$
Середнє	${\frac {\beta }{\alpha -1}}\!$ для $\alpha >1$
Мода	${\frac {\beta }{\alpha +1}}\!$
Дисперсія	${\frac {\beta ^{2}}{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}\!$ для $\alpha >2$
Коефіцієнт асиметрії	${\frac {4{\sqrt {\alpha -2}}}{\alpha -3}}\!$ для $\alpha >3$
Коефіцієнт ексцесу	${\frac {6(5\,\alpha -11)}{(\alpha -3)(\alpha -4)}}\!$ для $\alpha >4$
Ентропія	$\alpha \!+\!\ln(\beta \Gamma (\alpha ))\!-\!(1\!+\!\alpha )\psi (\alpha )$ (див. дигамма-функція)
Характеристична функція	${\frac {2\left(-i\beta t\right)^{\!\!{\frac {\alpha }{2}}}}{\Gamma (\alpha )}}K_{\alpha }\left({\sqrt {-4i\beta t}}\right)$

У теорії ймовірностей і статистиці обернений гамма-розподіл — це двопараметрічна сім’я неперервних розподілів ймовірностей на додатній дійсній півосі, що є розподілом оберненої до змінної, що має гамма-розподіл. Мабуть, найбільше обернений гамма-розподіл використовується в баєсівській статистиці, де такий розподіл виникає як граничний апостеріорний розподіл для невідомої дисперсії нормального розподілу, якщо використовується неінформативний апріор, і як аналітично виражений спряжений апріор у випадку інформативного апріорного розподілу.

Однак серед баєсівців прийнято розглядати альтернативну параметризацію нормального розподілу з точки зору точності, що визначається як зворотна величина дисперсії, що дозволяє використовувати гамма-розподіл безпосередньо як спряжений апріор. Інші баєсівці вважають за краще параметрізувати зворотний гамма-розподіл інакше, як масштабований обернений розподіл хі-квадрат.

Характеристика

Функція щільності

Функція щільності ймовірності оберненого гамма-розподілу визначається на носії $x>0$

$f(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}(1/x)^{\alpha +1}\exp \left(-\beta /x\right)$

з параметром форми $\alpha$ і параметром масштабу $\beta$. Тут $\Gamma (\cdot )$ позначає гамма-функцію.

На відміну від гамма-розподілу, який містить дещо подібний експоненціальний член, $\beta$ є параметром масштабу, оскільки функція розподілу задовольняє умову:

$f(x;\alpha ,\beta )={\frac {f(x/\beta ;\alpha ,1)}{\beta }}$

Функція розподілу

Функція розподілу є регуляризованою гамма-функцією

$F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma \left(\alpha ,{\frac {\beta }{x}}\right)}{\Gamma (\alpha )}}=Q\left(\alpha ,{\frac {\beta }{x}}\right)\!$

де чисельник — це верхня неповна гамма-функція, а знаменник — гамма-функція. Багато математичних пакетів дозволяють безпосередньо обчислити $Q$, регуляризовану гамма-функцію.

Моменти

За умови, що $\alpha >n$, $n$-й момент оберненого гамма-розподілу задається формулою

$\mathrm {E} [X^{n}]={\frac {\beta ^{n}}{(\alpha -1)\cdots (\alpha -n)}}.$

Характеристична функція

$K_{\alpha }(\cdot )$ у виразі характеристичної функції є модифікованою функціє. Бесселя 2-го роду.

Властивості

Для $\alpha >0$ і $\beta >0$,

$\mathbb {E} [\ln(X)]=\ln(\beta )-\psi (\alpha )\,$

і

$\mathbb {E} [X^{-1}]={\frac {\alpha }{\beta }},\,$

Інформаційна ентропія обислюється наступним чином

${\begin{aligned}\operatorname {H} (X)&=\operatorname {E} [-\ln(p(X))]\\&=\operatorname {E} \left[-\alpha \ln(\beta )+\ln(\Gamma (\alpha ))+(\alpha +1)\ln(X)+{\frac {\beta }{X}}\right]\\&=-\alpha \ln(\beta )+\ln(\Gamma (\alpha ))+(\alpha +1)\ln(\beta )-(\alpha +1)\psi (\alpha )+\alpha \\&=\alpha +\ln(\beta \Gamma (\alpha ))-(\alpha +1)\psi (\alpha ).\end{aligned}}$

де $\psi (\alpha )$ — дигамма функція.

Розбіжність Кульбака-Лейблера оберненої-гамми ( α _p, β _p ) від оберненої-гамми ( α _q, β _q ) така сама, як і KL-розбіжність гамма ( α _p, β _p ) від гамма ( α _q, β _q ):

$D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho (X)}{\pi (X)}}\right]=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho (1/Y)}{\pi (1/Y)}}\right]=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho _{G}(Y)}{\pi _{G}(Y)}}\right],$

де $\rho ,\pi$ є щільностями обернених гамма-розподілів та $\rho _{G},\pi _{G}$ є щільностями гамма-розподілів, $Y$ має Гамма( α _p, β _p ) розподіл.

${\begin{aligned}D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})={}&(\alpha _{p}-\alpha _{q})\psi (\alpha _{p})-\log \Gamma (\alpha _{p})+\log \Gamma (\alpha _{q})+\alpha _{q}(\log \beta _{p}-\log \beta _{q})+\alpha _{p}{\frac {\beta _{q}-\beta _{p}}{\beta _{p}}}.\end{aligned}}$

Пов'язані розподіли

• Якщо $X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )$ тоді $kX\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,k\beta )\,$
• Якщо $X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,{\tfrac {1}{2}})$ тоді $X\sim {\mbox{Inv-}}\chi ^{2}(2\alpha )\,$ (обернений хі-квадрат розподіл)
• Якщо $X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}({\tfrac {\alpha }{2}},{\tfrac {1}{2}})$ тоді $X\sim {\mbox{Scaled Inv-}}\chi ^{2}(\alpha ,{\tfrac {1}{\alpha }})\,$ (масштабований обернений хі-квадрат <a href="./Обернений розподіл хі-квадрат" rel="mw:WikiLink" data-linkid="164" data-cx="{&quot;adapted&quot;:false,&quot;sourceTitle&quot;:{&quot;title&quot;:&quot;Inverse-chi-squared distribution&quot;,&quot;thumbnail&quot;:{&quot;source&quot;:&quot;https://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/thumb/5/5a/Inverse_chi_squared_density.png/62px-Inverse_chi_squared_density.png&quot;,&quot;width&quot;:62,&quot;height&quot;:80},&quot;description&quot;:&quot;Probability distribution&quot;,&quot;pageprops&quot;:{&quot;wikibase_item&quot;:&quot;Q3258519&quot;},&quot;pagelanguage&quot;:&quot;en&quot;},&quot;targetFrom&quot;:&quot;mt&quot;}" class="cx-link" id="mwhQ" title="Обернений розподіл хі-квадрат">розподіл</a>)
• Якщо $X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {c}{2}})$ тоді $X\sim {\textrm {Levy}}(0,c)\,$ (розподіл Леві)
• Якщо $X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}(1,c)$ тоді ${\tfrac {1}{X}}\sim {\textrm {Exp}}(c)\,$ (експоненційний розподіл)
• Якщо $X\sim {\mbox{Gamma}}(\alpha ,\beta )\,$ ( Гамма-розподіл з параметром темпу $\beta$) тоді ${\tfrac {1}{X}}\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )\,$ (Деталі див. виведення в наступному абзаці)
• Зверніть увагу, що якщо $X\sim {\mbox{Gamma}}(k,\theta )$ (Гамма-розподіл з параметром масштабу $\theta$) тоді $1/X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(k,\theta )$
• Обернений гамма-розподіл є окремим випадком розподілу Пірсона 5го типу
• Багатовимірним узагальненням оберненого гамма-розподілу є обернений розподіл Вішарта.
• Про розподіл суми незалежних обернених гамма-змінних див. Witkovsky (2001)

Виведення з гамма-розподілу

Нехай $X\sim {\mbox{Gamma}}(\alpha ,\beta )$, і нагадаємо, що щільність гамма-розподілу

$f_{X}(x)={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}$, $x>0$ .

Враховуючи, що $\beta$ – параметр темпу змін в гамма-розподілі.

Визначимо перетворення $Y=g(X)={\tfrac {1}{X}}$ . Далі щільність $Y$ записується

${\begin{aligned}f_{Y}(y)&=f_{X}\left(g^{-1}(y)\right)\left|{\frac {d}{dy}}g^{-1}(y)\right|\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right){\frac {1}{y^{2}}}\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{\alpha +1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right)\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left(y\right)^{-\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right)\\[6pt]\end{aligned}}$

Зауважте, що $\beta$ – параметр масштабу для оберненого гамма-розподілу.

Поява

• Розподіл часу відліку вінерівського процесу

Див. також

• Гамма-розподіл
• Обернений розподіл хі-квадрат
• Нормальний розподіл

Джерела

• Hoff, P. (2009). "A first course in bayesian statistical methods". Springer.
• Witkovsky, V. (2001). Computing the Distribution of a Linear Combination of Inverted Gamma Variables. Kybernetika. 37 (1): 79—90. MR 1825758. Zbl 1263.62022.