Геометричний розподіл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В теорії імовірностей і статистиці геометричний розподіл визначається як будь-який з двох розподілів ймовірностей:

  • дискретна випадкова величина X має геометричний розподіл з параметром p , якщо вона збігається з кількістю випробувань до першого успіху в нескінченній послідовності випробувань Бернуллі з імовірністю успіху в одному випробуванні.
    \Pr(X = k) = (1 - p)^{k-1}\,p\,
    де k = 1, 2, 3, ....
  • величина Y = X − 1 , що дорівнює кількості неуспіхів до першого успіху.
    \Pr(Y=k) = (1 - p)^k\,p\,
    де k = 0, 1, 2, 3, ....

Який з цих розподілів називати геометричним питання згоди і зручності. Ці два різні геометричні розподіли не можна плутати один з одним. Очікувана величина геометричного розподілу випадкової величини X є 1/p і її похибка (1 − p)/p2:

\mathrm{E}(X) = \frac{1}{p}, \qquad\mathrm{var}(X) = \frac{1-p}{p^2}.

Так само очікувана величина геометричного розподілу випадкової величини Y є (1-p)/p, і її похибка (1-p)/p^2:

\mathrm{E}(Y) = \frac{1-p}{p}, \qquad\mathrm{var}(Y) = \frac{1-p}{p^2}.

Оцінка параметра[ред.ред. код]

Для обох варіантів геометричного розподілу параметр p може оцінюватися через порівняння очікуваної величини.Це метод моментів , який в даному випадку проводить оцінки максимальної ймовірності "p. Припустимо, для першого варіанту k_1,\dots,k_n ,коли k_i \geq 1 for i=1,\dots,n. Тоді p може бути оцінений як

\widehat{p} = \left(\frac1n \sum_{i=1}^n k_i\right)^{-1}. \!
p \sim \mathrm{Beta}\left(\alpha+n,\ \beta+\sum_{i=1}^n (k_i-1)\right). \! .
\widehat{p} = \left(1 + \frac1n \sum_{i=1}^n k_i\right)^{-1}. \!
p \sim \mathrm{Beta}\left(\alpha+n,\ \beta+\sum_{i=1}^n k_i\right). \!

Інші властивості[ред.ред. код]

Функція вірогідності X і Y , відповідно,

  • G_X(s) = \frac{s\,p}{1-s\,(1-p)}, \!
    G_Y(s) = \frac{p}{1-s\,(1-p)}, \quad |s| < (1-p)^{-1}. \!
  • Подібно неперервному аналогу (показниковий розподіл) , геометричний розподіл має властивість відсутності пам'яті .Це означає, що кількість попередніх "невдач" не впливає на кількість наступних "невдач".Таким чином геометричний розподіл - це єдиний дискретний розподіл з такою властивістю.
  • Серед всіх дискрретних ймовірних розподілів на {1, 2, 3, ... } з даною очікуваною величиною μ геометричний розподіл X з параметром p = 1/μ є одним

Геометричний розподіл числа Y невдач перед першим успіхом є нескінченно ділимим,для будь-якого додатнього цілого n, існують незалежні тотожньо розподілені випадкові величини Y1, ..., Yn сума яких має такий самий розподіл як і Y

Bvn-small.png        Розподіли ймовірності
Одновимірні Багатовимірні
Дискретні: Бернуллі | біноміальний | геометричний | гіпергеометричний | логарифмічний | від'ємний біноміальний | Пуассона | рівномірний поліноміальний
Абсолютно неперервні: Бета | Вейбулла | Гамма | гіперекспоненційний | Колмогорова | Коші | Лапласа | Леві | логістичний | логнормальний | нормальний (Гауса) | Парето | рівномірний | Райса | Релея | Стьюдента | Фішера | хі-квадрат | експоненційний | багатовимірний нормальний