Геометричний розподіл

В теорії імовірностей і статистиці геометричний розподіл визначається як будь-який з двох розподілів ймовірностей:

• дискретна випадкова величина X має геометричний розподіл з параметром p , якщо вона збігається з кількістю випробувань до першого успіху в нескінченній послідовності випробувань Бернуллі з імовірністю успіху в одному випробуванні.

  $\Pr(X = k) = (1 - p)^{k-1}\,p\,$

  де k = 1, 2, 3, ....

• величина Y = X − 1 , що дорівнює кількості неуспіхів до першого успіху.

  $\Pr(Y=k) = (1 - p)^k\,p\,$

  де k = 0, 1, 2, 3, ....

Який з цих розподілів називати геометричним питання згоди і зручності. Ці два різні геометричні розподіли не можна плутати один з одним. Очікувана величина геометричного розподілу випадкової величини X є 1/p і її похибка (1 − p)/p²:

$\mathrm{E}(X) = \frac{1}{p}, \qquad\mathrm{var}(X) = \frac{1-p}{p^2}.$

Так само очікувана величина геометричного розподілу випадкової величини Y є $(1-p)/p$, і її похибка $(1-p)/p^2$:

$\mathrm{E}(Y) = \frac{1-p}{p}, \qquad\mathrm{var}(Y) = \frac{1-p}{p^2}.$

Оцінка параметра

Для обох варіантів геометричного розподілу параметр p може оцінюватися через порівняння очікуваної величини.Це метод моментів , який в даному випадку проводить оцінки максимальної ймовірності "p. Припустимо, для першого варіанту $k_1,\dots,k_n$ ,коли $k_i \geq 1$ for $i=1,\dots,n$. Тоді p може бути оцінений як

$\widehat{p} = \left(\frac1n \sum_{i=1}^n k_i\right)^{-1}. \!$

$p \sim \mathrm{Beta}\left(\alpha+n,\ \beta+\sum_{i=1}^n (k_i-1)\right). \!$ .

$\widehat{p} = \left(1 + \frac1n \sum_{i=1}^n k_i\right)^{-1}. \!$

$p \sim \mathrm{Beta}\left(\alpha+n,\ \beta+\sum_{i=1}^n k_i\right). \!$

Інші властивості

Функція вірогідності X і Y , відповідно,

• $G_X(s) = \frac{s\,p}{1-s\,(1-p)}, \!$

  $G_Y(s) = \frac{p}{1-s\,(1-p)}, \quad |s| < (1-p)^{-1}. \!$

• Подібно неперервному аналогу (показниковий розподіл) , геометричний розподіл має властивість відсутності пам'яті .Це означає, що кількість попередніх "невдач" не впливає на кількість наступних "невдач".Таким чином геометричний розподіл - це єдиний дискретний розподіл з такою властивістю.
• Серед всіх дискрретних ймовірних розподілів на {1, 2, 3, ... } з даною очікуваною величиною μ геометричний розподіл X з параметром p = 1/μ є одним

Геометричний розподіл числа Y невдач перед першим успіхом є нескінченно ділимим,для будь-якого додатнього цілого n, існують незалежні тотожньо розподілені випадкові величини Y₁, ..., Y_n сума яких має такий самий розподіл як і Y