У лінійній алгебрі вектор-стовпець — це стовпець елементів, наприклад,
![{\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/714d84d8ff8ed716a4b5bf5f623c6a612c2cfc59)
Аналогічно, вектор-рядок — це рядок елементів:[1]
![{\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a72fe1f198afa8a35e7cdf6af734d0ae6a9b00f9)
Всюди жирний курсивний шрифт використовується як для вектор-рядків, так і для вектор-стовпців.
Транспонування (позначається як
) вектор-рядка є вектор-стовпцем
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac62199c76028481c47ce2dd50a7ba8fdf938909)
а транспонування вектор-стовпця є вектор-рядком
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{m}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45157874084c109ffd23d97f9df8a0e1d23e5b96)
Сукупність усіх вектор-рядків з
елементами утворює
-вимірний векторний простір;
аналогічно, множина всіх вектор-стовпців з
елементами утворює
-вимірний векторний простір.
Простір вектор-рядків з
елементами можна розглядати як дуальний простір простору вектор-стовпців з
елементами, оскільки будь-який лінійний функціонал на просторі вектор-стовпців можна представити як множення зліва єдиного вектор-рядка.
Щоб спростити запис вектор-стовпців у рядку з іншим текстом, іноді їх записують як вектор-рядки із застосуванням до них операції транспонування:
![{\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3eaf870a126de73146dcf5b4be95b0021324401)
або
![{\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bfcaaa8e7c311d7c711941ff93fb114596c40be)
Деякі автори також використовують домовленість запису і вектор-стовпців і вектор-рядків як рядків, але розділяючи елементи вектор-рядка комами, а елементи вектор-стовпця крапками з комами (див. альтернативне позначення 2 у таблиці нижче).
|
Вектор-рядок |
Вектор-стовпець
|
Стандартне матричне позначення (пробіли в масиві, без ком, знаки транспонування)
|
|
|
Альтернативне позначення 1 (коми, знаки транспонування)
|
|
|
Альтернативне позначення 2 (коми та крапки з комами, без знаків транспонування)
|
|
|
Множення матриць включає дію множення кожного вектор-рядка однієї матриці на кожен вектор-стовпець іншої матриці.
Скалярний добуток двох вектор-стовпців
і
еквівалентний матричному добутку транспонованого вектора
та вектора
:
![{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}={\boldsymbol {a}}^{\rm {T}}{\boldsymbol {b}}={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2af4340b441bb8c8b1359b4b4766edeaca8706c)
Внаслідок симетрії скалярного добутку добуток двох вектор-стовпців
і
також еквівалентний матричному добутку транспонованого вектора
та вектора
:
![{\displaystyle {\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {b}}^{\rm {T}}{\boldsymbol {a}}={\begin{bmatrix}b_{1}&\cdots &b_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca1dd6d57f75dd2d37362dd1b21ba31561b0df6f)
Матричний добуток вектор-стовпця та вектор-рядка дає векторний добуток двох векторів
і
, як приклад більш загального тензорного добутку.
Матричний добуток вектор-стовпця
та вектор-рядка
дає елементи їхнього діадичного добутку
![{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\otimes {\boldsymbol {b}}={\boldsymbol {a}}{\boldsymbol {b}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd9fb7ed9e126ec22e7ad1a558a1390ff63ddd3)
який є транспонуванням матричного добутку вектор-стовпця
і вектор-рядка
:
![{\displaystyle {\boldsymbol {b}}\otimes {\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {b}}{\boldsymbol {a}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}a_{1}&b_{1}a_{2}&b_{1}a_{3}\\b_{2}a_{1}&b_{2}a_{2}&b_{2}a_{3}\\b_{3}a_{1}&b_{3}a_{2}&b_{3}a_{3}\\\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a20d92697486f9395534a0a988c48aaeb10caaf6)
матрицю
можна представити як лінійне відображення та діяти на вектор-рядки та вектор-стовпці як матриця перетворення лінійного відображення.
Для вектор-рядка
добуток
є іншим вектор-рядком
:
![{\displaystyle {\boldsymbol {v}}M={\boldsymbol {p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf2190c3c038bcac15f7ab2f5d0a3805b06d1a2)
Інша
матриця
може діяти на
:
![{\displaystyle {\boldsymbol {p}}Q={\boldsymbol {t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9441bac41c3cec34bd6a70119911dfc759c51a95)
Тоді можна записати
.
Отже, перетворення матричного добутку
відображає
безпосередньо в
.
Продовжуючи роботу з вектор-рядками, матричні перетворення, які додатково переконфігурують
-простір, можна застосувати справа на вихідні дані.
Якщо вектор-стовпець перетворюється в інший вектор-стовпець під дією
матриці, то операція відбувається зліва:
![{\displaystyle {\boldsymbol {p}}^{\rm {T}}=M{\boldsymbol {v}}^{\rm {T}},\quad {\boldsymbol {t}}^{\rm {T}}=Q{\boldsymbol {p}}^{\rm {T}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ee80d7e7d74bd9a417888abbd1ae6062497c6c5)
що приводить до алгебраїчного співвідношення
для скомпонованих вихідних даних, які отримано з вхідних даних
.
Матричні перетворення розташовуються зліва при такому використанні вектор-стовпця для входу в матричне перетворення.
- Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
- Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
- Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archived from the original on March 1, 2001
- Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
- Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International
- Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall