Формула Ньютона — Ляйбніца
Вибрані статті із |
Числення |
---|
|
Спеціалізоване |
Фо́рмула Ньюто́на-Ляйбніца для обчислення визначеного інтегралу є узагальненням методу Архімеда для обчислення площ і поверхонь плоских, криволінійних поверхонь, об'ємів тіл, довжин кривих та інших задач.
Нехай функція неперервна на відрізку [а, b] і відома її первісна , тоді визначений інтеграл від функції можна обчислити за формулою:
Ця формула називається формулою Ньютона—Ляйбніца. Іноді її називають основною формулою інтегрального числення. Для скорочення запису часто застосовується позначення:
Але в багатьох випадках первісна функція не може бути знайдена за допомогою елементарних засобів або є занадто складною, що робить неможливим обчислення визначеного інтеграла за цією формулою. В таких випадках користуються чисельнимим методами обчислення визначених інтегралів.
Існує дві частини теореми. Інакше кажучи, перша частина оперує з похідними первісних, тоді як друга частина має справу зі зв'язком між первісною і визначеним інтегралом.
Ця частина іноді згадується як перша фундаментальна теорема інтегрального числення.[1]
Нехай f буде неперервною дійсно-значимою функцією на закритому проміжку [a, b]. Нехай F буде функцією визначеною, для всіх x у [a, b], через
Тоді, F є неперервною на [a, b], диференційовною на відкритому проміжку (a, b), і
для всіх x з (a, b).
Фундаментальну теорему часто використовують для обчислення визначеного інтегралу функції f для якої відома первісна F. Конкретно, якщо f є дійсно-значною неперервною функцію на [a, b], і F її первісна f у [a, b], тоді
Цей наслідок припускає неперервність на всьому проміжку. Цей вислід злегка посилюється наступною частиною теореми.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9e/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0_-_%D0%9B%D0%B5%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D1%96%D1%86%D0%B0_%28%D0%B0%D0%BD%D1%96%D0%BC%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F%29.gif)
Ця частина іноді згадується як друга фундаментальна теорема інтегрального числення[2] або формула Ньютона — Лейбніца (англ. Newton–Leibniz axiom).
Нехай f і F будуть дійсно-значними функціями визначеними на закритому проміжку [a, b] такі, що похідна F є f. Тобто f і F — це функції такі, що для всіх x з [a, b],
Якщо f є інтегровною за Ріманом на [a, b] тоді
Друга частина є почасти сильнішою від Наслідку, бо вона не вимагає неперервності f.
Коли існує первісна F, тоді існує нескінченно багато первісних для f, отримуваних додаванням до F довільної сталої. Також, з першої частини теореми, первісна існує завжди, коли f неперервна.
Для заданої f(t), визначимо функцію F(x) як
Для двох довільних чисел x1 і x1 + Δx з [a, b], маємо
і
Відніманням отримуємо
Можна показати, що
- (Сума площ двох суміжних регіонів дорівнює площі двох регіонів об'єднаних.)
Отже
Підставляємо попереднє в (1), що дає
Згідно з теоремою Лагранжа для інтегрування, існує дійсне число з [x1, x1 + Δx] таке, що
Для спрощення запису ми продовжуватимемо писати c замість але читач має усвідомлювати, що c залежить від . Підставляючи попереднє у (2) отримуємо
Ділення на Δx дає
- Вираз ліворуч від знаку рівності — відношення різниць Ньютона для F у x1.
Перейдемо до границь при Δx → 0 з обох боків рівняння.
Вираз ліворуч є визначенням похідної від F у x1.
Для визначення другої границі використаємо стискну теорему. Число c лежить у проміжку [x1, x1 + Δx], отже x1 ≤ c ≤ x1 + Δx.
Також, and
Тому, відповідно до стискної теореми,
Підставляємо в (3) і отримуємо
Функція f є неперервною в c, отже границю можна перенести в середину функції. Отже, ми маємо
Що завершує доведення.
(Leithold et al., 1996) (строге доведення ви можете знайти на http://www.imomath.com/index.php?options=438 [Архівовано 22 лютого 2014 у Wayback Machine.])
Припустимо F — первісна f, якщо f неперервна на [a, b]. Нехай
- .
З першої частини теореми, ми знаємо G також первісна f. З теореми Лагранжа випливає, що існує таке число c, що G(x) = F(x) + c, для всіх x з [a, b]. Поклавши x = a, маємо
що значить c = − F(a). Інакше кажучи G(x) = F(x) − F(a), і отже
Доведення через суми Рімана.
Нехай f інтегровна за Ріманом на відрізку [a, b], і нехай f має первісну F на [a, b]. Почнемо з величини F(b) − F(a). Нехай існують числа x1, …, xn такі, що
З цього слідує
Тепер додамо кожне F(xi) разом із зворотнім до нього щодо додавання, отже вислідна величина дорівнює:
Попереднє можна записати як таку суму:
Далі, використаємо теорему Лагранжа. Яка стверджує (коротко)
Нехай F є неперервною на відрізку [a, b] і диференційовною на інтервалі (a, b). Тоді існує деяке c з (a, b) таке, що
З цього випливає, що
Функція F диференційовна на [a, b]; отже, вона диференційовна і неперервна на кожному з відрізків [xi−1, xi]. Згідно з теоремою Лагранжа,
Підставляючи попереднє в (1), отримуємо
Припущення означає Також, може бути виражено як відтинку .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cd/Riemann_integral_irregular.gif)
Ми описуємо площу прямокутника через добуток ширини і висоти і додаємо площі. Кожен прямокутник, знов теорема Лагранжа, є наближенням секції кривої, де він намальований. Також не обов'язково має бути однаковим для всіх i, інакше кажучи, ширина прямокутників може різнитися. Що нам потрібно зробити — приблизно задати криву через n прямокутників. Тепер, у міру того як розмір кожного відтинку зменшується, а n збільшується, ми наближаємося до справжнього значення інтегралу кривої.
З переходом до границі, де розмір розбиття, найбільше , прямує до нуля і відповідно кількість відтинків до нескінченності, ми досягаємо інтегралу Рімана. Границя існує, бо за припущенням f інтегровна.
Отже, ми переходимо до границі з обох боків у (2). Маємо
Ані F(b), ні F(a) не є залежними від , тому границя зліва залишається F(b) − F(a).
Вираз праворуч визначає інтеграл f від a до b. Отже, ми отримуємо
що й завершує доведення.
Це виглядає майже так наче перша частина безпосередньо випливає з другої. Тобто, припустимо G є первісною для f. Тоді згідно з другою частиною теореми, . Тепер, припустимо . Тоді F має таку саму похідну як і G, звідси F′ = f. Однак, цей довід працює лише якщо ми знаємо, що f має первісну, а ми знаємо, що неперервні функції мають первісну лише завдяки першій частині фундаментальної теореми.[3] Наприклад, якщо f(x) = e−x2, тоді f має первісну, а саме
і не існує простішого виразу для цієї функції. Саме через не треба сприймати другу частину як визначення інтеграла. І справді, існує багато функцій які інтегровні, але на мають первісної яку можна записати у вигляді елементарних функцій. І навпаки, багато функцій, що мають первісну, неінтегровні за Ріманом (дивись Функція Вольтерра).
Задля прикладу обчислимо таке:
Тут, і ми можемо використати як первісну. Звідси
Або, загальніше, обчислимо
Тут, і можна використати як первісну. Отже
Або, тотожно,
- ↑ Апостол, 1967, §5.1
- ↑ Апостол, 1967, §5.3
- ↑ Spivak, Michael (1980), Calculus (вид. 2nd), Houston, Texas: Publish or Perish Inc.
- Апостол, Том М. (1967), Інтегральне числення, Том. 1: Інтегральне числення функцій однієї змінної зі вступом до лінійної алгебри (вид. друге), Нью Йорк: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-00005-1. (англ.)
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
- Формула Ньютона — Лейбніца // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 412. — 594 с.
![]() |
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |