Диференціальна форма

Диференціальна форма порядку $k$ або $k$-форма — кососиметричне тензорне поле типу $(0,\;k)$ на дотичному розшаруванні многовиду.

Диференціальні форми введені французьким математиком Елі Картаном на початку XX століття.

Формалізм диференціальних форм є зручним в багатьох розділах теоретичної фізики і математики, зокрема, в теоретичній механіці, симплектичній геометрії, квантовій теорії поля.

Простір $k$-форм на многовиді $M$ звичайно позначають $\Omega ^{k}(M)$.

Визначення

Інваріантне

У диференціальній геометрії, диференціальна форма степеня $k$ — це гладкий перетин $k$-го зовнішнього степеня кодотичного розшарування многовиду.

Нехай M — гладкий многовид, T_pM — дотичний простір многовиду M в точці p, T^*_pM — кодотичний простір многовиду M в точці p.

Позначмо $\Lambda ^{k}(T_{p}^{*}M)$ — векторний простір знакозмінних, лінійних за всіма елементами відображень виду:

$\beta \colon T_{p}M\times \cdots \times T_{p}M\to \mathbb {R}$

Тоді диференціальна k-форма $\omega$ — це відображення:

$\omega \colon p\to \Lambda ^{k}(T_{p}^{*}M)$

в довільній точці p∈M, при чому

$\omega (p)(V_{1}(p),\ldots ,V_{k}(p))\in C^{\infty }(M,\mathbb {R} ),$

де $V_{1}(p),\ldots ,V_{k}(p)$ — довільні гладкі векторні поля.

Іноді у визначенні диференціальних форм не вимагається гладкості. Форми, що задовольняють ці додаткові умови, називають тоді гладкими диференціальними формами.

Через локальні карти

Якщо $(x_{1},...,x_{n})$ — локальна система координат в області $U\in M$, то форми $dx_{1},...,dx_{n}$ утворюють базис у кодотичному просторі $T_{X}^{*}M$. Тому будь-яка зовнішня k-форма записується в U у вигляді

$\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx_{i_{1}}\wedge dx_{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}$

де $f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}$ — гладкі функції $dx^{i}$ — диференціал $i$-ї координати $x^{i}$ (функція від вектора, що визначає його координату з номером $i$ ), а $\wedge$ — зовнішній добуток. При зміні координат, це подання змінюється.

На гладкому многовиді, k-форми може бути визначено як форми на картах, які узгоджено на склеюваннях.

Пов'язані визначення

Зовнішня похідна

Лінійне відображення $d:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k+1}(M)$ називається зовнішньою похідною якщо:

1. Для $p=0$ воно збігається зі звичайним диференціалом функції;
2. $\ d(\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(d\omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^{k}\omega ^{k}\wedge (d\omega ^{p})$
3. Для будь-якої форми виконується рівність $d(d\omega )=0$.

Для довільного гладкого многовиду відображення з даними властивостями існує і є єдиним. У локальних координатах зовнішній диференціал форми $\omega \in \Omega ^{k}(M)$можна записати за допомогою формули:

• $d\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}\sum _{1\leqslant j\leqslant n}{\frac {\partial f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}}{\partial x^{j}}}(x_{1},\;\dots ,\;x_{n})\,dx_{j}\wedge dx_{i_{1}}\wedge dx_{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}$

• Диференціальна форма називається замкненою, якщо її зовнішня похідна дорівнює 0.
• k-форма називається точною, якщо її можливо представити як диференціал деякої (k-1)-форми.
• Факторгрупа $H_{dR}^{k}={\bar {\Omega }}_{k}/d\Omega _{k-1}$ замкнених k-форм по точних k-формах називається $k$-мірною групою когомологій де Рама. Теорема де Рама стверджує, що вона ізоморфна k-мірній групі сингулярних когомологій.
• Внутрішньою похідною форми $\omega$ по векторному полю $\mathbf {v}$ називається форма

$i_{\mathbf {v} }\omega (u_{1},\dots u_{n-1})=\omega (\mathbf {v} ,u_{1},\dots ,u_{n-1})$

Властивості

• Для диференціалів диференціальних форм $\omega _{F}$ векторного поля $F$ справедливо:

$\ d(d\omega _{F})=0$

$d(\omega _{F}^{0})=\omega _{\nabla F}^{1}$

$d(\omega _{F}^{1})=\omega _{rotF}^{2}$

$d(\omega _{F}^{2})=\omega _{divF}^{3}$

$d(\omega _{F}^{3})=\omega _{L2F}^{4}$

• Диференціальну форму можна розглядати як поле полілінійних кососиметричних функцій від $k$ векторів.

• Внутрішнє диференціювання є лінійним і задовольняє градуйованому правилу Лейбніца. Воно пов'язане із зовнішнім диференціюванням і похідною Лі формулою гомотопії:

  $di_{\mathbf {v} }+i_{\mathbf {v} }d=L_{\mathbf {v} }$

Алгебраїчні операції

Диференціальні форми порядку $k$, задані у диференціальному многовиді $M$, утворюють модуль $\Omega ^{k}(M)$ над кільцем $C^{\infty }(M)$. Зокрема для диференціальних форм порядку $k$ визначено додавання і множення на функцію :

$(\alpha +\beta )_{x}(v_{1},\dots ,v_{k})=\alpha _{x}(v_{1},\dots ,v_{k})+\beta _{x}(v_{1},\dots ,v_{k})$ ; $(f\alpha )_{x}(v_{1},\dots ,v_{k})=f(x)\cdot \alpha _{x}(v_{1},\dots ,v_{k})$.

Зовнішній добуток

Зовнішній добуток форм $\alpha$ і $\beta$ порядків $k$ і $q$ визначається за допомогою наступної формули :

$(\alpha \wedge \beta )_{x}(v_{1},\dots ,v_{k+q})={\frac {1}{k!q!}}\sum \varepsilon (\sigma )\cdot \alpha _{x}(v_{\sigma (1)},\dots ,v_{\sigma (k)})\cdot \beta _{x}(v_{\sigma (k+1)},\dots ,v_{\sigma (k+q)})$,

де $\varepsilon (\sigma )$ позначає знак перестановки $\sigma$ і сума береться по всіх перестановках $\sigma$ чисел $[1,k+q]$. Результатом добутку є диференціальна форма порядку $k+q$.

З визначеними алгебраїчними операціями множина $\Omega (M)=\oplus \Omega ^{k}(M)$, є градуйованою алгеброю, що задовольняє градуйованому закону комутативності: для форм $\alpha$ і $\beta$ порядків $k$ і $q$, Виконується

$\alpha \wedge \beta =(-1)^{kq}\beta \wedge \alpha$.

Зворотний образ

Якщо відображення $f:M\rightarrow N$ є гладким, $\alpha$ — диференціальна форма порядку $k$ на многовиді $N$, тоді можна визначити диференціальну форму $f^{*}\alpha$ порядку $k$ визначену на $M$:

$(f^{*}\alpha )_{x}(v_{1},\dots ,v_{k})=\alpha _{f(x)}(\mathrm {d} f_{x}(v_{1}),\dots ,\mathrm {d} f_{x}(v_{k}))$.

Дане відображення задовольняє рівностям:

• $f^{*}(\alpha +\beta )=f^{*}(\alpha )+f^{*}(\beta )\,$
• $f^{*}(g\cdot \alpha )=(g\circ f)\cdot f^{*}(\alpha )$
• $f^{*}(\alpha \wedge \beta )=f^{*}(\alpha )\wedge f^{*}(\beta )$

де $\alpha ,\beta$ — диференціальні форми на N, а g — функція визначена на N.

Отже, відображення $f^{*}:\Omega (N)\rightarrow \Omega (M)$ визначає гомоморфізм градуйованих алгебр.

Дане відображення також можна записати у локальних координатах. Нехай x₁, …, x_m — координати на M, that y₁, …, y_n — координати на N, і ці координати пов'язані рівностями y_i = f_i(x₁, …, x_m) для всіх i. Тоді, локально на N, ω можна записати як

$\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}dy_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dy_{i_{k}},$

де для довільного вибору i₁, …, i_k, $\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}$ — дійсна функція змінних y₁, …, y_n. З властивостей зворотного образу одержується формула для f^*ω :

$f^{*}\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}(\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\circ f)df_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge df_{i_{n}}.$

Кожну зовнішню похідну df_i може бути записано в термінах dx₁, …, dx_m. Відповідну k-форму може бути записано за допомогою матриці Якобі:

$f^{*}\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}\sum _{j_{1}<\cdots <j_{k}}(\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\circ f){\frac {\partial (f_{i_{1}},\ldots ,f_{i_{k}})}{\partial (x_{j_{1}},\ldots ,x_{j_{k}})}}dx_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{j_{k}}.$

Інтегрування

Нехай

$\omega =\sum a_{i_{1},\dots ,i_{k}}({\mathbf {x} })\,dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}$

диференціальна форма і S — диференційовний многовид параметризований в деякій області $D\in \mathbb {R} ^{n}$:

$S({\mathbf {u} })=(x_{1}({\mathbf {u} }),\dots ,x_{n}({\mathbf {u} }))$. Тоді можна визначити інтеграл:

$\int _{S}\omega =\int _{D}\sum a_{i_{1},\dots ,i_{k}}(S({\mathbf {u} })){\frac {\partial (x_{i_{1}},\dots ,x_{i_{k}})}{\partial (u_{1},\dots ,u_{k})}}\,du_{1}\ldots du_{k}$

де

${\frac {\partial (x_{i_{1}},\dots ,x_{i_{k}})}{\partial (u_{1},\dots ,u_{k})}}$ — визначник матриці Якобі.

Теорема Стокса

Теорема Стокса є основою для більшості застосувань диференціальних форм:

Якщо $\omega$ — n−1-форма з компактним носієм у M і ∂M границя многовиду M з індукованою орієнтацією, то виконується рівність:

$\int _{M}d\omega =\oint _{\partial M}\omega .\!\,$

Частковими випадками цієї загальної теореми є основна теорема аналізу, теорема Гауса — Остроградського, теорема Гріна і звичайна теорема Стокса про зв'язок лінійного і поверхневого інтегралів.

Диференціальні форми в електромагнетизмі

Максвеллівська електродинаміка вельми елегантно формулюється мовою диференціальних форм в 4-вимірному просторі-часі. Розглянемо 2-форму Фарадея, що відповідає тензору електромагнітного поля:

${\textbf {F}}={\frac {1}{2}}F_{ab}\,{\mathrm {d} }x^{a}\wedge {\mathrm {d} }x^{b}.$

Ця форма є формою кривини тривіального головного розшарування зі структурною групою U (1), за допомогою якого може бути описано класичну електродинаміку та калібрувальну теорію. 3-форма струму, дуальна до 4-вектору струму, має вигляд

${\textbf {J}}=J^{a}\varepsilon _{abcd}\,{\mathrm {d} }x^{b}\wedge {\mathrm {d} }x^{c}\wedge {\mathrm {d} }x^{d}.$

У цих позначеннях рівняння Максвелла може бути дуже компактно записано як

$\mathrm {d} \,{\textbf {F}}={\textbf {0}}$,

$\mathrm {d} \,{*{\textbf {F}}}={\textbf {J}}$,

де $*$ — оператор зірки Годжа. Подібним чином може бути описано геометрію загальної калібрувальної теорії.

2-форма $*\mathbf {F}$ також називається 2-формою Максвелла.

Приклади

• З погляду тензорного аналізу, 1-форма є не що інше як ковекторне поле, тобто 1 раз коваріантний тензор, заданий в кожній точці $p$ многовиду $M$ і що відображає елементи дотичного простору $T_{p}(M)$ у множину дійсних чисел $\mathbb {R}$:

  $\omega (p):T_{p}(M)\rightarrow \mathbb {R}$

• Форма об'єму — приклад $n$-форми на $n$-мірному многовиді.
• Симплектична форма — замкнена 2-форма $\omega$ на $2n$-многовиді, така що $\omega ^{n}\not =0$.

Див. також

• Зовнішня алгебра
• Зовнішній добуток
• Когомологія де Рама
• Тангенціальнозначна форма

Джерела

• Зорич В. А. Математический анализ. — 9-е. — М : МЦНМО, 2019. — Т. 2. — 676 с. — ISBN 978-5-4439-1303-2.(рос.)
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
• Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
• У. Рудин. Основы математического анализа — М.: Мир, 1976
• Спивак М. Математический анализ на многообразиях, — М.: Мир. 1968.
• Flanders, Harley (1989), Differential forms with applications to the physical sciences, Mineola, NY: Dover Publications, ISBN 0-486-66169-5
• Morita, Shigeyuki (2001), Geometry of Differential Forms, AMS, ISBN 0-8218-1045-6
• Weintraub, Steven (1997), Differential forms : a complement to vector calculus,Academic Press, Inc. ISBN 0-12-742510-1