Нерівність трикутника

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Три приклади нерівності трикутника для трикутників зі сторонами з довжинами x, y, z. Верхній приклад показує випадок, коли z є значно меншою за суму інших двох сторін x + y, а нижній приклад показує випадок, коли сторона z є лише трошки меншою за x + y.

Нерівність трикутника — основна властивість геометричних фігур евклідового простору, відстані, що використовується в геометрії, функціональному аналізі.

Вона стверджує, що будь-яка сторона довільного трикутника менша за суму двох інших його сторін та більша за їх різницю.

Нерівність трикутника входить як аксіома в визначення метрики простору, норми.

Евклідова геометрія

[ред. | ред. код]
Евклідова побудова доведення нерівності трикутника для планиметрії.

Нерівність трикутника є теоремою в Евклідовій геометрії, доведення наведено ще в «Началах» Евкліда.

В трикутнику причому рівність досягається тільки тоді, коли трикутник вироджений і точка лежить строго між та .

Нормований простір

[ред. | ред. код]
Нерівність трикутника для норм векторів.

Якщо нормований векторний простір, де — довільна множина, а — визначена на норма. Тоді за визначенням норми:

Метричний простір

[ред. | ред. код]

Якщо метричний простір, де — довільна множина, а — визначена на метрика. Тоді за визначенням метрики:

Обернена нерівність трикутника

[ред. | ред. код]

Наслідком нерівності трикутника в нормованому та метричному просторі є такі нерівності:

Джерела

[ред. | ред. код]