Універсальна множина: відмінності між версіями
[перевірена версія] | [перевірена версія] |
м +Шаблон:Теорія множин |
Jarozwj (обговорення | внесок) Немає опису редагування |
||
Рядок 45: | Рядок 45: | ||
* [[Парадокс Рассела]] |
* [[Парадокс Рассела]] |
||
{{Без джерел|дата=жовтень 2015}} |
|||
{{Теорія множин}} |
{{Теорія множин}} |
||
Версія за 18:21, 20 жовтня 2015
Універсальна множина (універсум) — в теорії множин така множина U, для якої перетин цієї множини з будь-якою множиною X збігається з цією множиною X. Універсальна множина єдина.
Формально: U — універсальна множина ⇔ ∀X: X∩U=X.
Таким чином, будь-яка множина X повністю міститься в універсальній множині U. Виходячи з цього можна дати таке визначення універсальної множини: якщо в рамках деякої задачі розглядаються тільки підмножини деякої фіксованої множини U, то сама ця множина U називається універсальною множиною.
Не слід плутати поняття універсальної множини з поняттям множини всіх множин в наївній теорії множин (див. Парадокс Рассела). Існування такої множини всіх множин забороняється аксіоматичною теорією множин.
В алгебрі множин універсальна множина грає ролю одиничного елементу.
Також для будь-якої множини X справедливо: X∪U=U.
Властивості універсальної множини
- Будь-який об'єкт, якою б не була його природа є елементом універсальної множини.
- Зокрема, універсальна множина містить сама себе в якості одного з елементів.
- Будь-яка множина є підмножиною універсальної множини.
- Зокрема, універсальна множина є власною підмножиною.
- Об'єднання універсальної множини з будь-якою іншою множиною дорівнює універсальній множині.
- Зокрема, об'єднання універсальної множини із собою дорівнює універсальній множині.
- Перетин універсальної множини з іншою множиною дорівнює множині, що перетинається з універсальною.
- Зокрема, перетин універсальної множини із собою дорівнює універсальній множині.
- Виключення універсальної множини з будь-якої іншої множини дорівнює порожній множині.
- Зокрема, виключення універсальної множини із самої себе дорівнює порожній множині.
- Виключення будь-якої множини з універсальної множини дорівнює доповненню цієї множини.
- Доповненням універсальної множини є порожня множина.
- Симетрична різниця універсальної множини з будь-якою множиною дорівнює доповненню останної множини.
- Зокрема, симетрична різниця універсальної множини із собою дорівнює порожній множині.
Див. також
Ця стаття не містить посилань на джерела. (жовтень 2015) |
|