Теорія де Бройля — Бома

Теорія де Бройля-Бома, також відома як теорія хвилі-пілота, Бомівська механіка, Інтерпретація Бома і Причинна інтерпретація, — це інтерпретація квантової теорії. На додачу до хвильової функції на просторі всіх можливих конфігурацій, вона також постулює фактичну конфігурацію, яка існує навіть неспостережувана. Еволюція з плином часу конфігурації (тобто, позиції всіх частинок або конфігурації всіх полів) визначається хвильовою функцією через ведуче рівняння. Еволюція хвильової функції з плином часу визначається виразом рівняння Шредінгера. Теорія названа в честь Луї де Бройля (1892-1987), і Девіда Бома (1917-1992).

Ця теорія детермінована і явно нелокальна: швидкість будь-якої частинки залежить від величини ведучого рівняння, яке залежить від конфігурації системи, визначеної її хвильовою функцією; остання залежить від граничних умов системи, які в принципі можуть бути цілим всесвітом.

Результати теорії полягають у формалізмі вимірювання, аналогічному до термодинаміки для класичної механіки, що дає стандартний квантовий формалізм, що в загальному об'єднаний з копенгагенською інтерпретацією. Явна нелокальність теорії вирішує "проблему вимірювання", яка умовно делегується до питання інтерпретації квантової механіки в копенгагенській інтерпретації. Правило Борна в теорії Бройля-Бома не є основним законом. Замість того, в цій теорії зв'язок між щільністю ймовірності і хвильовою функції має статус гіпотези, що називається гіпотеза квантової рівноваги, яка є доповненням до основних принципів регулювання хвильової функції.

Теорія була історично сформована де Бройлем в 1920-ті роки, якого в 1927 році переконали відмовитися від неї на користь тоді популярної копенгагенської інтерпретації. Девід Бом, незадоволений переважною ортодоксальністю, заново відкрив теорію пілотованої хвилі де Бройля в 1952 році. Пропозиції Бома не були широко сприйняті тоді, почасти через причини, які не мають відношення до їхнього змісту, пов'язані з юнацьких захоплень Бома комуністичною пропагандою. Теорія Де Бройля-Бома широко вважалася неприйнятною пануючими теоретиками, в основному через її явну нелокальність. Теорема Белла (1964) була натхненна відкриттям Белла роботи Девіда Бома і його подальшим зацікавленням в тому, чи очевидну нелокальність теорії можна було б усунути. З 1990-х років, знову прокинувся інтерес до розробки доповнень до теорії де Бройля-Бома, намагаючись примирити її з спеціальною теорією відносності і квантовою теорією поля, опріч інших властивостей, таких як, спін або криволінійних просторових геометрій..

Стаття Стенфордської філософської енциклопедії про квантову декогеренцію (Гвідо Бакаґалуппі, 2012) групує "підходи до квантової механіки" на п'ять груп, одною з яких є "теорії пілотованої хвилі" (інші групи — це копенгагенська інтерпретація, об'єктивні теорії колапсу, багатосвітові інтерпретації і модальні інтерпретації.

Є кілька еквівалентних математичні формулювання теорії, які відомі під рядом різних імен. Хвиля де Бройля має макроскопічний аналог, що називається хвиля Фарадея.

Огляд

Теорія Де Бройля-Бома ґрунтується на таких постулатах:

• Існує конфігурація $q$ Всесвіту, що описується координатами $q^{k}$, які є елементом конфігураційного простору $Q$. Простір конфігурації відрізняється для різних варіантів теорії хвилі-пілота. Наприклад, це може бути простір позицій $\mathbf {Q} _{k}$ з $N$ частинок, або, у випадку теорії поля, простір конфігурацій поля $\phi (x)$. Конфігурація еволюціонує (для нульового спіну) у відповідності з керуючим рівнянням

$m_{k}{\frac {dq^{k}}{dt}}(t)=\hbar \nabla _{k}\operatorname {Im} \ln \psi (q,t)=\hbar \operatorname {Im} \left({\frac {\nabla _{k}\psi }{\psi }}\right)(q,t)={\frac {m_{k}{\mathbf {j}}_{k}}{\psi ^{*}\psi }}=\mathrm {Re} \left({\frac {{\mathbf {\hat {P}}}_{k}\Psi }{\Psi }}\right)$.

Де ${\mathbf {j}}$ — струм ймовірності або потік ймовірності і ${\mathbf {\hat {P}}}$ — оператор імпульсу. Тут $\psi (q,t)$ — стандартна комплекснозначна хвильова функція відома з квантової теорії, яка розвивається згідно з рівнянням Шредінгера

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (q,t)=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{i}}}\nabla _{i}^{2}\psi (q,t)+V(q)\psi (q,t)$

Це вже завершує специфікацію теорії для будь-якої квантової теорії з оператором Гамільтона типу $H=\sum {\frac {1}{2m_{i}}}{\hat {p}}_{i}^{2}+V({\hat {q}})$.

• Конфігурація розподілена згідно з $|\psi (q,t)|^{2}$ в деякий момент часу $t$, і це, отже, виконується для всіх моментів часу. Такий стан називається квантовою рівновагою. За допомогою квантової рівноваги, ця теорія узгоджується з результатами стандартної квантової механіки.

Слід зазначити, що навіть якщо це останнє співвідношення часто представляється як аксіома теорії, в оригінальних роботах Бома 1952 року воно було представлене як виведене зі статистично-механічних параметрів. Цей аргумент був також підтриманий роботою Бома в 1953 році і був обгрунтований роботою Віґєра і Бома 1954 року, якою вони ввели стохастичні рідинні флуктуації, які ведуть процес асимптотичної релаксації від квантової нерівноваги до квантової рівноваги (ρ → |ψ|²).

Експеримент з двома щілинами

Бомівські траєкторії для електрона, що проходить через експеримент з двома щілинами. Аналогічна картина була також екстрапольована слабкими вимірюваннями поодиноких фотонів.

Експеримент на подвійних щілинах є ілюстрацією корпускулярно-хвильового дуалізму. У ньому, пучок частинок (наприклад, електронів), проходить через бар'єр, який має дві щілини. Якщо помістити екран детектора за бар’єром, малюнок виявлених частинок показує інтерференційну картину, яка є характерною рисою хвиль, що надходять на екран з двох джерел (двох щілин). Однак, інтерференційна картина складається з окремих точок відповідних частинок, які потрапили на екран. Система, здається, демонструє поведінку хвиль (інтерференційна картина) і частинок(точки на екрані) одночасно.

Якщо змінити цей експеримент таким чином, щоб одна щілина була закритою, інтерференційна картина не спостерігається. Отже, стан обох щілин впливає на остаточний результат. Можна також організувати мінімально інвазивний детектор на одній із щілин, щоб визначити, через яку щілину пройшла частинка. Якщо це зробити, інтерференційна картина зникає.

Копенгагенська інтерпретація стверджує, що частинки не локалізовані в просторі, поки вони не будуть виявлені, отже, якщо немає ніякого детектора на щілинах, немає ніякої інформації про те, через які щілини частинка пройшла. Якщо щілина має детектор на виході, то хвильова функція руйнується через це виявлення.

У теорії де Бройля-Бома, хвильова функція визначена в обидвох щілинах, але кожна частинка має чітко визначену траєкторію, яка проходить через рівно одну зі щілин. Остаточне положення частинки на екрані детектора і щілина, через яку частинка проходить, визначається початковим положенням частинки. Таке вихідне положення невідоме і не контрольоване експериментатором, тому малюнок на детекторі виглядає випадковим. У своїх роботах 1952 року Бом використовував хвильову функцію для побудови квантового потенціалу, який при включенні в рівняння Ньютона, давав траєкторії частинок, що проходять через дві щілини. Насправді хвильова функція інтерферує сама з собою і веде частинки через квантовий потенціал таким чином, що частинки уникають регіонів, в яких інтерференція є деструктивною і притягуються до регіонів, в яких інтерференція є конструктивною, що призводить до інтерференційної картини на екрані детектора.

Для того, щоб пояснити поведінку, коли детектор виявляє, що частинка проходить через одну щілину, потрібно оцінити роль умовної хвильової функції, і як це призводить до колапсу хвильової функції; це пояснюється нижче. Основна ідея полягає в тому, що навколишнє середовище, що реєструє виявлення, ефективно відокремлює два хвильові пакети в конфігураційному просторі.

Теорія

Онтологія

Онтологія теорії де Бройля-Бома складається з конфігурації $q(t)\in Q$ Всесвіту і хвилі-пілота $\psi (q,t)\in \mathbb {C}$. Простір конфігурації $Q$ можна вибрати по-різному, як і в класичній механіці, так і в стандартній квантовій механіці.

Таким чином, онтологія теорії хвилі-пілота містить в якості траєкторій $q(t)\in Q$, відомих з класичної механіки, хвильові функції $\psi (q,t)\in \mathbb {C}$ квантової теорії. Таким чином, в кожен момент часу існує не тільки хвильова функція, але також чітко визначена конфігурацію цілого всесвіту (тобто система, визначена граничними умовами, використаними при розв’язуванні рівняння Шредінгера). Відповідність нашому досвіду проводиться шляхом ідентифікації конфігурації нашого мозку з деякою частиною конфігурації цілого світу $q(t)\in Q$, як і в класичній механіці.

У той час як онтологія класичної механіки є частиною онтології теорії де Бройля-Бома, динаміки дуже різні. У класичній механіці прискорення частинок надаються безпосередньо силами, які існують у фізичному тривимірному просторі. У теорії де Бройля-Бома, швидкості частинок визначаються хвильової функцією, яка існує в 3N-вимірному конфігураційному просторі, де N відповідає числу частинок в системі; Бом висунув гіпотезу, що кожна частка має "складну і тонку внутрішню структуру", яка забезпечує здатність реагувати на інформацію, надану хвильовою функцією через квантовий потенціал. Крім того, на відміну від класичної механіки, фізичні властивості (наприклад, маса, заряд) розкидані по хвильовій функції в теорії де Бройля-Бома, не локалізовані в положенні частинки.

Сама хвильова функція, а не частинки, визначає динамічну еволюцію системи: частинки не впливають назад на хвильову функцію. Як Бом і Гайлі сформульовали, "рівняння Шредінгера для квантового поля не має джерел, ані не має будь-якого іншого способу, за допомогою якого поле могло б безпосередньо залежати від стану частинок [...] квантову теорію можна повністю зрозуміти з точки зору припущення про те, що квантове поле не має джерел або інших форм залежності від частинок." П. Голланд вважає відсутність взаємної дії частинок і хвильової функції одною "серед багатьох некласичних властивостей, які показуються цією теорією". Слід зазначити, однак, що Голланд пізніше назвав це просто удаваною відсутністю зворотної реакції, у зв'язку з неповнотою опису.

Надалі нижче, ми дамо установку для однієї частинки, що рухається у $\mathbb {R} ^{3}$ з подальшою установкою для $N$ частинок, що рухаються в 3-х вимірах. У першому випадку, конфігураційний простір і реальний простір однакові, в той час як у другому, реальний простір і раніше $\mathbb {R} ^{3}$, але конфігураційний простір тепер $\mathbb {R} ^{3N}$. У той час, як частинка позиціонує себе в реальному просторі, поле швидкостей і хвильова функція знаходяться у конфігураційному просторі, в якому частинки заплутані одна з одною в цій теорії.

Розширення до цієї теорії включають в себе спін і більш складні конфігураційні простори.

Ми використовуємо варіації $\mathbf {Q}$ для позицій частинок в той час як $\psi$ представляє комплекснозначну хвильову функцію на конфігураційному просторі.

Керуюче рівняння

Для безспінової поодинокої частинки, що рухається у $\mathbb {R} ^{3}$, швидкість частинки задана

${\frac {d\mathbf {Q} }{dt}}(t)={\frac {\hbar }{m}}\operatorname {Im} \left({\frac {\nabla \psi }{\psi }}\right)(\mathbf {Q} ,t)$.

Для багатьох частинок, ми позначаємо $k$-ту частинку як $\mathbf {Q} _{k}$, їхні швидкості задані

${\frac {d\mathbf {Q} _{k}}{dt}}(t)={\frac {\hbar }{m_{k}}}\operatorname {Im} \left({\frac {\nabla _{k}\psi }{\psi }}\right)(\mathbf {Q} _{1},\mathbf {Q} _{2},\ldots ,\mathbf {Q} _{N},t)$.

Основне, що варто зауважити, це те, що це поле швидкості залежить від фактичних позицій усіх $N$ частинок у Всесвіті. Як пояснено нижче, в більшості експериментальних ситуацій, вплив всіх цих частинок може бути записаний у ефективну хвильову функцію для підсистеми Всесвіту.

Рівняння Шредінгера

Одночастинкове рівняння Шредінгера визначає еволюцію в часі комплекснозначної хвильової функції на $\mathbb {R} ^{3}$. Рівняння являє собою квантований варіант повної енергії класичної системи, що еволюціонує під впливом дійснозначної функції потенціалу $V$ на $\mathbb {R} ^{3}$:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi$

Для багатьох частинок, рівняння таке же, за винятком того, що $\psi$ і $V$ тепер належать конфігураційному простору $\mathbb {R} ^{3N}$.

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-\sum _{k=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{k}}}\nabla _{k}^{2}\psi +V\psi$

Це та сама хвильова функція традиційної квантової механіки.

Відношення до правила Борна

В оригінальних роботах Бома 1952 року він обговорює, як теорія Бройля-Бома випливає із звичайних результатів вимірювань квантової механіки. Основна ідея полягає в тому, що це вірно, якщо положення частинок задовольняють статистичний розподіл, заданий $|\psi |^{2}$. І той розподіл гарантовано буде виконуватися для всіх моментів часу через керуюче рівняння, якщо початковий розподіл частинок задовольняє $|\psi |^{2}$.

Для даного експерименту, ми можемо постулювати це як вірне твердження і експериментально перевірити, що це справді має місце, як воно і є. Але, як стверджується в Дюрра та ін., потрібно стверджувати, що цей розподіл для підсистем характерний. Вони стверджують, що $|\psi |^{2}$ в силу своєї еквіваріантності при динамічній еволюції системи, є підходящою мірою типовості для первинних станів положення частинок. Потім вони доводять, що переважна більшість можливих початкових конфігурацій буде приводити до статистичних даних, що підкоряються правилу Борна (тобто, $|\psi |^{2}$) для результатів вимірювань. Таким чином, у всесвіті, керованого динамікою де Бройля-Бома, поведінка правила Борна є типовою.

Таким чином, ситуація аналогічна ситуації в класичній статистичній фізиці. Початковий стан з низькою ентропією, з надзвичайно високою ймовірністю, перетвориться в стан з більш високою ентропією: поведінка, узгоджена з другим законом термодинаміки, є типовою. Є, звичайно, аномальні початкові умови, які призведуть до виникнення порушень другого закону. Проте, за відсутності будь-якого дуже детального доказу, що підтверджував би фактичну реалізацію одної з цих спеціальних початкових умов, було б зовсім нерозумно очікувати щось, крім фактично спостережуваного рівномірного зростання ентропії. Аналогічним чином, в теорії де Бройля-Бома, існують аномальні початкові умови, які спричинили б статистичні дані вимірювання з порушенням правила Борна (тобто, в протиріччі з передбаченнями стандартної квантової теорії). Але теорема типовості показує, що, за відсутності будь-якої конкретної причини вважати, що одна з цих спеціальних початкових умов була фактично реалізована, поведінка згідно з правилом Борна є також, яку слід очікувати.

Саме в цьому сенсі для теорії де Бройля-Бома правило Борна є теоремою, а не (як у звичайній квантовій теорії) додатковим постулатом.

Крім того, можна показати, що розподіл часток, що не є розподіленими відповідно до правила Борна (тобто, розподіл 'поза квантовою рівновагою') і такий, що розвивається відповідно до динаміки де Бройля-Бома в переважній більшості випадків розвивається динамічно в стан, розподілений як $|\psi |^{2}$. Для прикладу, дивись Відео електронної щільності двовимірного вікна, що розвивається в рамках цього процесу доступне тут.

Умовна хвильова функція підсистеми

У формулюванні теорії де Бройля-Бома, є тільки хвильова функція для всього всесвіту (яка завжди еволюціонує рівнянням Шредінгера). Слід, однак, зазначити, що "Всесвіт" це просто система обмежена тими ж граничними умовами, які використовуються для розв’язання рівняння Шредінгера. Проте, як тільки теорія сформульована, зручно ввести поняття хвильової функції також для підсистем Всесвіту. Запишемо хвильову функцію Всесвіту$\psi (t,q^{\mathrm {I} },q^{\mathrm {II} })$, де $q^{\mathrm {I} }$ позначає змінні конфігурації, пов'язані з деякою підсистеми (I) Всесвіту і $q^{\mathrm {II} }$позначає інші змінні конфігурації. Позначимо, відповідно, $Q^{\mathrm {I} }(t)$ і $Q^{\mathrm {II} }(t)$ фактичну конфігурацію підсистеми (I) і решту Всесвіту. Для простоти ми розглянемо тут тільки безспіновий випадок. Умовна хвильова функція підсистеми (I) визначається за формулою:

$\psi ^{\mathrm {I} }(t,q^{\mathrm {I} })=\psi (t,q^{\mathrm {I} },Q^{\mathrm {II} }(t)).\,$

Це безпосередньо випливає з того факту, що $Q(t)=(Q^{\mathrm {I} }(t),Q^{\mathrm {II} }(t))$ задовольняє керуюче рівняння, що також конфігурація $Q^{\mathrm {I} }(t)$ задовольняє керуюче рівняння, ідентичне наведеному в формулюванні теорії, з універсальною хвильовою функцією $\psi$ замінену умовною хвильовою функцією $\psi ^{\mathrm {I} }$. Крім того, той факт, що $Q(t)$ випадкова з густиною імовірності, заданою квадратом модуля $\psi (t,\cdot )$, звідки випливає, що умовна густина ймовірності $Q^{\mathrm {I} }(t)$ при умові $Q^{\mathrm {II} }(t)$ задається квадратом модуля нормалізованої умовної хвильової функції $\psi ^{\mathrm {I} }(t,\cdot )$ (в термінології Дюрра та інших цей факт названий фундаментальною формулою умовної ймовірності).

На відміну від універсальної хвильової функції, умовна хвильова функція підсистеми не завжди еволюціонує рівнянням Шредінгера, але в багатьох ситуаціях це робить. Наприклад, якщо універсальні чинники хвильової функції такі:

$\psi (t,q^{\mathrm {I} },q^{\mathrm {II} })=\psi ^{\mathrm {I} }(t,q^{\mathrm {I} })\psi ^{\mathrm {II} }(t,q^{\mathrm {II} })\,$

тоді умовна хвильова функція підсистеми (I) є (з точністю до несуттєвого скалярного множника) дорівнює $\psi ^{\mathrm {I} }$ (Це те, що стандартна квантова теорія розглядатиме як хвильову функцію підсистеми (I)). Якщо, крім того, гамільтоніан не містить члену взаємодії між підсистемами (I) і (II), тоді $\psi ^{\mathrm {I} }$ дійсно задовольняє рівняння Шредінгера. У більш загальному сенсі, припустимо, що універсальну хвильову функцію $\psi$ можна записати у вигляді:

$\psi (t,q^{\mathrm {I} },q^{\mathrm {II} })=\psi ^{\mathrm {I} }(t,q^{\mathrm {I} })\psi ^{\mathrm {II} }(t,q^{\mathrm {II} })+\phi (t,q^{\mathrm {I} },q^{\mathrm {II} }),\,$

де $\phi$ розв'язує рівняння Шредінгера і $\phi (t,q^{\mathrm {I} },Q^{\mathrm {II} }(t))=0$ для всіх $t$ і $q^{\mathrm {I} }$. Тоді, знову ж таки, умовна хвильова функція підсистеми (I) (з точністю до несуттєвого скалярного множника) дорівнює $\psi ^{\mathrm {I} }$ і якщо гамільтоніан не містить члену взаємодії між підсистемами (I) і (II), $\psi ^{\mathrm {I} }$ задовольняє рівняння Шредінгера.

Той факт, що умовна хвильова функція підсистеми не завжди еволюціонує згідно з рівнянням Шредінгера, пов'язаний з тим, що звичайне правило колапсу стандартної квантової теорії виникає з бомівського формалізму, якщо взяти до уваги умовні хвильові функції підсистем.

Розширення

Теорія відносності

Теорія хвилі-пілота явно нелокальна, через що начебто конфліктує з спеціальною теорією відносності. Різні розширення "Бом-подібної" механіки існують, які намагаються вирішити цю проблему. Бом сам в 1953 році представив розширення теорії, що задовольняє рівняння Дірака для однієї частинки. Тим не менш, це не можна розширити на випадок багатьох-частинок, оскільки використовується абсолютний час. Відновлений інтерес при побудові Лоренц-інваріантних розширень бомівської теорії виникли в 1990-і роки; дивись книгу Бома і Гайлі "Нерозділений Всесвіт" (англ. The Undivided Universe), і [1], [2], і посилання в них. Інший підхід наведено в роботі Дюрра та інших, в якому вони використовують моделі Бома-Дірака і Лоренц-інваріантне шарування простору-часу.

Таким чином, Дюрр і ін. (1999) показали, що можна формально відновити Лоренц-інваріантність для теорії Бем-Дірака шляхом введення додаткової структури. Такий підхід, як і раніше вимагає шарування простору-часу. Хоча це суперечить стандартній інтерпретації відносності, запропоноване шарування, якщо неспостережене, не призводить до будь-яких емпіричних конфліктів з теорією відносності. У 2013 році Дюрр та інші припустили, що необхідне шарування може бути коваріантно визначене хвильовою функцією.

Співвідношення між нелокальністю і привілейованим шарування якнайкраще можна зрозуміти в такий спосіб. У теорії де Бройля-Бома, нелокальність проявляється як той факт, що швидкість і прискорення однієї частинки залежить від миттєвого положення всіх інших частинок. З іншого боку, в теорії відносності поняття миттєвість не має інваріантного змісту, не є інваріантом. Таким чином, для визначення траєкторії частинок, необхідно додаткове правило, яке визначає, які точки простору-часу слід вважати миттєвим. Найпростіший спосіб для досягнення цієї мети є запровадження привілейованого шарування простору-часу вручну, таким чином, що кожна гіперповерхня шарування визначає гіперповерхню однакового часу.

Спочатку було визнано неможливим викласти опис траєкторій фотонів в теорії де Бройля-Бома через труднощі опису бозонів у релятивістський спосіб. У 1996 році Партга Ґгосе представив релятивістський квантово-механічний опис бозонів з нульовим або одиничним спіном, починаючи від рівняння Даффіна-Кеммера-Петьє, виклавши бомівської траєкторії для масивних бозонів і бозонів без маси (а, отже, і для фотонів). У 2001 році Жан-П'єр Віґ’єр (відомий фізик, а також агент радянської розвідки) наголосив на важливості отримання чітко визначеного опису світла в термінах траєкторій частинок в рамках або бомівської механіки або стохастичної механіки Нельсона У тому ж році Ґгосе розробив бомівські траєкторії фотонів для конкретних випадків Послідовні експерименти слабкого вимірювання виявили траєкторії, які збігаються з передбаченими траєкторіями

Кріс Д’юдні і Ґ. Гортон запропонували релятивістськи коваріантне, хвильово-функціональне формулювання теорії Бома квантового поля і розширили його до форми, яка дозволяє включення гравітації

Ніколіч запропонував Лоренц-коваріантне формулювання бомівської інтерпретації багаточасткових хвильових функцій. Він розробив узагальнену релятивістсько-інваріантну ймовірнісну інтерпретацію квантової теорії,, в якому $|\psi |^{2}$ вже більше не щільність ймовірності в просторі, а щільність ймовірності в [[простір-час|просторі-часіїї. Він використовує цю узагальнену ймовірнісну інтерпретацію формулювання релятівістськи-коваріантного варіанту теорії де Бройля-Бома без введення переважного шарування простору-часу. Його робота також охоплює розширення бомівської інтерпретації до квантування полів і струн.

Родерік Сазерленд з Сіднейського університету розробив формалізм Лагранжа для пілотної хвилі і її частинок, спираючись на слабкі вимірювання Якіра Ааронова для пояснення багаточастинкового заплутування в релятивістський спосіб без необхідності введення конфігураційного простору. Основна ідея вже була опублікована Олів’єром Коста де Бореґардом в 1950-і роки, а також використовується Джоном Крамером в його транзакційній інтерпретації без недоліків, які існують між вимірами сильного проекційного оператора фон Неймана. Лагранжіан Сазерленда включає двосторонню дію реакції між пілот-хвилі і частинками. Тому пост-квантова нестатистична теорія з остаточними граничними умовами, такими, що порушують теореми квантової теорії про відсутність сигналу. Подібно до того, як спеціальна теорія відносності є граничним випадком загальної теорії відносності, коли кривизна простору-часу дорівнює нулю, так само статистична беззаплутувальносигнальна квантова теорія з правилом Борна це просто граничний випадок постквантового Лагранжіану дії-віддачі, коли реакція має значення нуль, а остаточна гранична умова виокремлена.

Спін

Для того, щоб включити спін, хвильова функція повинна бути комплексозначною. Простір значень називається спіновим простором; для ферміонів $\mathbb {C} ^{2}$ підходить як спіновий простір. Основоположне рівняння модифікується шляхом проведення внутрішніх множень в спіновому просторі, щоб звести комплексні вектори до комплексних чисел. Рівняння Шредінгера модифікується додаванням члена спін-Паулі.

${\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {Q} _{k}}{dt}}(t)&={\frac {\hbar }{m_{k}}}Im\left({\frac {(\psi ,D_{k}\psi )}{(\psi ,\psi )}}\right)(\mathbf {Q} _{1},\mathbf {Q} _{2},\ldots ,\mathbf {Q} _{N},t)\\i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi &=\left(-\sum _{k=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{k}}}D_{k}^{2}+V-\sum _{k=1}^{N}\mu _{k}\mathbf {S} _{k}/{S}_{k}\cdot \mathbf {B} (\mathbf {q} _{k})\right)\psi \end{aligned}}$

де $\mu _{k}$ — магнітний момент $k$-тої частинки, $\mathbf {S} _{k}$ — відповідний спіновий оператор, який діє в спіновому просторі $k$-тої частинки, ${S}_{k}$ — спін частинки (${S}_{k}=1/2$ для електрона),

$D_{k}=\nabla _{k}-{\frac {ie_{k}}{c\hbar }}\mathbf {A} (\mathbf {q} _{k})$,

$\mathbf {B}$ і $\mathbf {A}$ — відповідно, магнітне поле і вектор-потенціал у $\mathbb {R} ^{3}$ (всі інші функції означені повністю у конфігураційному просторі), $e_{k}$ — заряд $k$-тої частинки, і $(\cdot ,\cdot )$ — скалярний добуток в спіновому просторі $\mathbb {C} ^{d}$,

$(\phi ,\psi )=\sum _{s=1}^{d}\phi _{s}^{*}\psi _{s}.$

Для прикладу спінового простору, система, що складається з двох частинок зі спіном 1/2 і однієї зі спіном 1, має хвильову функцію виду

$\psi :\mathbb {R} ^{9}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{3}$.

Тобто, його спіновий простір являє собою 12-вимірний простір.

Квантова теорія поля

У роботі Дюрр та інших, автори описують розширення теорії де Бройля-Бома для обробки операторів народження та знищення, на які вони посилаються як "квантові теорії поля типу Белла". Основна ідея полягає в тому, що конфігураційний простір перетворюється у неперетинне об’єднання просторів всіх можливих конфігурацій будь-якого числа частинок. Частину часу, система еволюціонує детерміновано згідно з керуючим рівнянням з фіксованим числом частинок. Але під час стохастичного процесу, частинки можуть створюватися і аннігілювати (тобто, взаємознищуватись і перетворюватися у інші частинки). Розподіл подій створення продиктований хвильовою функцією. Сама хвильова функція розвивається в усі часи у повному конфігураційному простору багатьох частинок.

Грвоє Ніколіч вводить чисто детерміновану теорію створення частинок і руйнування де Бройля-Бома, відповідно до якої траєкторії частинок є неперервними, але детектори частинок поводяться так, якби частинки були створені або знищені, навіть коли справжнє створення або знищення частинок не відбувається.

Викривлений простір

Для розширення теорії де Бройля-Бома у викривленому просторі (ріманів многовид в математичній термінології), достатньо просто зазначити, що всі елементи цих рівнянь мають сенс, такі як градієнти і лапласіани. Таким чином, ми використовуємо рівняння, які мають ту ж форму, що і вище. Топологічні і граничні умови можуть застосовуватися в доповненні еволюції рівняння Шредінгера.

Для теорії де Бройля-Бома на викривленому просторі зі спіном, простір перетворюється у векторне розшарування в просторі конфігурації і потенціал в рівнянні Шредінгера перетворюється у локальний самоспряжений оператор, що діє на цьому ж просторі.

Використовуючи нелокальність

Ентоні Валентіні поширив теорію де Бройля-Бома до включення сигналу нелокальності, який дозволив би заплутування використовувати як автономний канал зв'язку без вторинного класичного сигналу "ключа" для "розблокування" повідомлення, закодованого в заплутаності. Це порушує ортодоксальну квантову теорію, але вона цінна тим, що вона в принципі уможливлює спостереження паралельних всесвітів хаотичної теорії інфляції.

На відміну від теорії де Бройля-Бома, у теорії Валентіні еволюція хвильової функції також залежить від онтологічних змінних. Це вносить нестабільність, петлю зворотного зв'язку, яка виштовхує приховані змінні із "субквантової теплової смерті". Отримана теорія, таким чином, нелінійна і неунітарна.

Результати

Нижче наведені деякі основні результати, які виникають з аналізу теорії де Бройля-Бома. Експериментальні результати узгоджуються з усіма стандартними передбаченнями квантової механіки настільки, наскільки ця має передбачення. Проте, в той час як стандартна квантова механіка обмежується обговоренням результатів "вимірів", теорія де Бройля-Бома управляє динамікою системи без втручання зовнішніх спостерігачів (117-ий параграф у Белла).

Підставою для узгодження зі стандартною квантовою механікою є те, що частинки розподілені згідно з $|\psi |^{2}$. Можна довести, що для всесвіту, керованим цією теорією, це твердження невігластва спостерігача, як правило, має місце. Існує очевидний колапс хвильової функції, яка регулює підсистеми Всесвіту, але немає ніякого колапсу універсальної хвильової функції.

Вимірювання спіну і поляризації

Згідно звичайної квантової теорії, не можна виміряти спін або поляризацію частинки безпосередньо; замість цього, компонента в одному напрямку вимірюється; результат з однієї частинки, може бути 1, а це означає, що частинка була розташована згідно з вимірювальним пристроєм або -1, а це означає, що воно була розташована в протилежну сторону. Для ансамблю частинок, якщо ми очікуємо, що частинки будуть вирівняні, результати всіх будуть 1. Якщо ми очікуємо, що вони повинні бути вирівняні протилежно, результати всіх будуть -1. Для інших впорядкувань, ми очікуємо, що деякі результати будуть 1, а деякі -1 з ймовірністю, що залежить від очікуваного вирівнювання. Для повного пояснення цього, дивіться дослід Штерна-Герлаха.

У теорії де Бройля-Бома, результати спінового експерименту не можуть бути проаналізовані без деякого знання експериментальної установки. Цілком можливо змінити налаштування таким чином, щоб траєкторія частки не змінилася, але, щоб частинка з одним налаштуванням реєструється зі спіном вгору, в той час як за інших налаштувань вона реєструється як зі спіном вниз. Таким чином, для теорії де Бройля-Бома, спін частинки не є внутрішньою властивістю частинки, натомість спіна, так би мовити, це значення хвильової функції частинки по відношенню до конкретного пристрою, використовуваного для вимірювання спіну. Це ілюстрація того, що іноді називають контекстуальністю, і пов'язана з наївним реалізмом про оператори.

Вимірювання, квантовий формалізм, і незалежність спостерігача

Теорія Де Бройля-Бома дає ті ж результати, що і квантова механіка. Вона розглядає хвильову функцію як фундаментальний об'єкт в теорії, оскільки хвильова функція описує, як рухаються частинки. Це означає, що жоден експеримент не може розрізнити дві теорії. У цьому розділі викладаються ідеї щодо того, як виникає стандартний квантовий формалізм з квантової механіки. Список використаної літератури включає оригінальну роботу Бома 1952 року і роботу Дюрра та інших.

Колапс хвильової функції

Теорія Де Бройля-Бома належить до теорій, що в першу чергу застосовні до всього всесвіту. Тобто, існує єдина хвильова функція, що регулює рух всіх частинок у Всесвіті відповідно до керуючого рівняння. Теоретично рух однієї частинки залежить від положення всіх інших частинок у Всесвіті. У деяких ситуаціях, наприклад, в експериментальних системах, ми можемо уявити саму систему з точки зору теорії де Бройля-Бома, в якій хвильова функція системи отримана шляхом введення поправки на навколишнє середовище системи. Таким чином, система може бути проаналізована з рівняння Шредінгера і керуючого рівняння з початковим $|\psi |^{2}$ розподілом частинок в системі (дивіться розділ умовна хвильова функція підсистеми для отримання більш докладної інформації).

Це вимагає спеціального налаштування, щоб умовна хвильова функція системи підкорялася квантової еволюції. Коли система взаємодіє з навколишнім середовищем, наприклад, за допомогою вимірювань, умовна хвильова функція системи розвивається по-іншому. Еволюція універсальної хвильової функції може стати такою, що видається, ніби хвильова функція системи перебуває в суперпозиції різних станів. Однак, якщо середовище зафіксувало результати експерименту, то використовуючи фактичну бомівську конфігурацію середовища для обумовлення, умовна хвильова функція колапсує тільки в одну альтернативу, що відповідає результатам вимірювань.

Колапс універсальної хвильової функції ніколи не зустрічається в теорії де Бройля-Бома. Вся її еволюція визначається рівнянням Шредінгера і еволюції частинок регулюються керуючим рівнянням. Колапс відбувається тільки феноменологічно для систем, які, здається, слідують своїм власним рівнянням Шредінгера. Оскільки це ефективний опис системи, це питання вибору щодо того, що визначити експериментальну систему для включення і від цього вибору буде залежати, коли "колапс" відбувається.

Оператори, як спостережувані

У стандартному квантовому формалізму, вимірювання спостережуваних, як правило, думають як вимірювання операторів в гільбертовому просторі. Наприклад, позиція вимірювання вважається вимір оператора положення. Таке співвідношення між фізичними вимірами і космічних операторів Гільберта, для стандартної квантової механіки, додаткової аксіомою теорії. Теорія де Бройля-Бома, навпаки, не вимагає таких вимірювань аксіом (і вимір як такий перестав бути динамічно різні або спеціальних підкатегорію фізичних процесів в теорії). Зокрема, звичайні оператори-а-Спостережувані формалізм для теорії де Бройля-Бома, теорема. Основною точкою аналізу є те, що багато хто з вимірювання спостережуваних не відповідають властивостям частинок; вони (як і у випадку зі спіном вище) вимірювання хвильових функцій.

В історії теорії де Бройля-Бома, прихильники часто доводилося мати справу з претензіями, що ця теорія неможлива. Такі аргументи, як правило, засновані на неприйнятному аналізі операторів як спостережуваних. Якщо вважати, що вимірювання спина дійсно вимірювання спина частки, які існували до вимірювання, то чи можна досягти протиріч. Де Бройля-Бома теорія має справу з цим, зазначивши, що спина не є особливістю частинки, а то, що хвильової функції. Як такий, він має тільки певний результат, як тільки обраний експериментальний апарат. Після того, що береться до уваги, теореми неможливість стають несуттєвими.

Там були також твердження, що експерименти відхиляють траєкторії Бома [3] на користь стандартних QM ліній. Але, як показано в [4] і [5], такі експерименти, наведені вище тільки спростувати неправильне тлумачення теорія де Бройля-Бома, а не сама теорія.

Є також заперечення проти цієї теорії, заснованої на тому, що він говорить про конкретних ситуацій, як правило, за участю власних станів оператора. Наприклад, основний стан водню є реальним хвильову. Згідно направляючої рівняння, то це означає, що електрон знаходиться в стані спокою, коли в цьому стані. Проте, вона розподіляється по $|\psi |^{2}$ і ніякого протиріччя з результатами експериментальних досліджень неможливо виявити.

Оператори, як спостережувані призводить багато хто вважає, що багато операторів еквівалентні. теорія Де Бройля-Бома, з цієї точки зору, вибирає позицію спостережувану як Схвалений спостерігається, а не, скажімо, імпульс спостерігається. Знову ж, посилання на положення спостерігається є наслідком динаміки. Мотивацією для теорії де Бройля-Бома є опис системи частинок. Це означає, що мета теорії полягає в тому, щоб описати стан цих частинок в усі часи. Інші спостережувані не мають такої переконливий онтологічний статус. Маючи певні позиції пояснює, маючи певні результати, такі як спалахи на екрані детектора. Інші спостережувані не призведе до такого висновку, але не повинно бути ніяких проблем у визначенні математичної теорії для інших спостережуваних; см Hyman і ін. для дослідження того, що щільність ймовірності і ймовірність того, струм може бути визначений для будь-якого набору комутуючих операторів.

Приховані змінні

теорія Де Бройля-Бома часто називають теорією "прихованої змінної". Бом використовував це опис в своїх оригінальних роботах на цю тему, листи, "З точки зору звичайна інтерпретація, ці додаткові елементи або параметри [дозволяють детальну причино-безперервне опис всіх процесів] може можна назвати "приховані" змінні ". Бом і Hiley пізніше заявив, що вони знайшли вибір Бома терміна "прихованих змінних", щоб бути занадто обмежувальний характер. Зокрема, вони стверджували, що частка насправді не приховані, а "це те, що найбезпосереднішим чином проявляється в спостереженні [хоча] його властивості не можна спостерігати з довільною точністю (в межах лімітів, встановлених принцип невизначеності)". Проте, інші все-таки ставитися до терміна «прихованої змінної» в якості відповідного опису.

Узагальнені траєкторії частинок можуть бути екстрапольовані з численних слабких вимірювань на ансамблі однаково підготовлених систем, і такі траєкторії збігаються з де Бройля-Бома траєкторій. Зокрема, експеримент з двома заплутаних фотонів, в яких безліч бомівської траєкторій для одного з фотонів була визначена з використанням слабких вимірювань і postselection, можуть бути зрозумілі в термінах нелокальної зв'язку між траєкторії, фотона і поляризації іншого фотона. Проте, не тільки інтерпретація де Бройля-Бома, але і багато інших інтерпретацій квантової механіки, які не включають в себе такі траєкторії узгоджуються з такі експериментальні докази.

Принцип невизначеності Гейзенберга

Принцип невизначеності Гейзенберга стверджує, що, коли два додаткових вимірювання зроблені, є межа добутку їх точності. Як приклад, якщо вимірювати положення з точністю $\Delta x$, і імпульс з точністю of $\Delta p$, тоді $\Delta x\Delta p\gtrsim h.$ Якщо ми робимо додаткові виміри для того, щоб отримати більше інформації, ми порушити систему і змінити траєкторію в новий залежно від вимірювальної установки. Таким чином, результати вимірювань як і раніше схильні до співвідношення невизначеності Гейзенберга.

У теорії де Бройля-Бома, завжди є по суті справи про становище і імпульсу частинки. Кожна частка має чітко визначену траєкторію, а також хвильову функцію. Спостерігачі мають обмежені знання щодо того, що ця траєкторія (і, отже, положення та імпульсу). Це відсутність знань про траєкторії частинки, яка враховує співвідношення невизначеностей. Що можна дізнатися про частки в будь-який момент часу описується хвильової функцією. Оскільки співвідношення невизначеностей може бути отримана з хвильової функції в інших інтерпретації квантової механіки, воно може бути отримано аналогічним чином (в епістеміческого сенс вже згадувалося вище), по теорії де Бройля-Бома.

Для того, щоб поставити заяву інакше, позиції частинок відомі тільки статистично. Як і в класична механіка, послідовні спостереження частинок "позицій уточнити знання експериментатора частинок початкових умов. Таким чином, при наступних спостережень, початкові умови стають все більш і більш обмеженим. Цей формалізм узгоджується з нормальним використанням рівняння Шредінгера.

Для виведення співвідношення невизначеностей см принцип невизначеності Гейзенберга, зазначивши, що вона описує його з точки зору копенгагенської інтерпретації.

Квантова заплутаність, Ейнштейна-Подольського-Розена, теорема Белла, і нелокальність

теорія Де Бройля-Бома виділений питання про нелокальність: він надихнув Джон Стюарт Белл, щоб довести, що його тепер відома теорема,, який в свою чергу, призвело до тестових експериментів Bell.

В Ейнштейна-Подольського-Розена, автори описують уявний експеримент можна було б виконати на пару частинок, які взаємодіяли, результати яких вони інтерпретували як вказівку, що квантова механіка є неповною теорією .

Кілька десятиліть потому Джон Белл довів теорема Белла (див 14 параграф у ), в якій він показав, що, якщо вони погодитися з емпіричними прогнозами квантова механіка, все такі "прихованих змінних" поповнення квантової механіки повинні бути або нелокального (як інтерпретація Бома) або відмовитися від припущення, що експерименти проводять унікальні результати (див інтерпретацію контрфактіческіх визначеністю і багато-світів ). Зокрема, Белл довів, що будь-яка локальна теорія з унікальними результатами повинні зробити емпіричні передбачення, що задовольняють статистичне обмеження називається "нерівність Белла".

Alain Aspect провели серію тестових експериментів Bell, що тест нерівності Белла за допомогою установки ЕП-типу. Результати Аспекту експериментально показати, що нерівність Белла фактично порушується, це означає, що відповідні квантово-механічні передбачення є правильними. У цих тестових експериментах Bell, заплутавшись створені пари частинок; частинки відділяються, подорожі з віддаленим вимірювальним приладом. Орієнтації вимірювального пристрою можуть бути змінені в той час як частки знаходяться в польоті, демонструючи очевидну нелокальність ефекту.

Теорія де Бройля-Бома робить ті ж (емпірично правильні) передбачення для тестових експериментів Bell як звичайної квантової механіки. Це в змозі зробити це, тому що це явно нелокальної. Він часто піддаються критиці або відкидаються на цій підставі; Ставлення Белла був: ". Це заслуга версії де Бройля-Бома довести цей [нелокальність] так, що вона явно не може бути проігноровано"

Теорія де Бройля-Бома описує фізику в тестових експериментах Bell наступним чином: щоб зрозуміти еволюцію частинок, нам потрібно створити хвильове рівняння для обох частинок; орієнтація апарату впливає на хвильову. Частинки в експерименті слідувати вказівкам хвильової функції. Це хвильову, що тягне швидше, ніж швидкість світла ефектом зміни орієнтації пристрою. Аналіз який саме нелокальності присутній і як вона сумісна з теорією відносності можна знайти в ПлаксиваЗверніть увагу, що в роботі Белла, і більш докладно. в роботі плаксивим, це показано, що нелокальність не дозволяє для передачі сигналів зі швидкістю швидше, ніж світло.

Дивіться також

Квантова механіка

Примітки

• Albert, David Z. (May 1994). Bohm's Alternative to Quantum Mechanics. Scientific American. 270 (5): 58—67. doi:10.1038/scientificamerican0594-58.
• Barbosa, G. D.; N. Pinto-Neto (2004). A Bohmian Interpretation for Noncommutative Scalar Field Theory and Quantum Mechanics. Physical Review D. 69: 065014. arXiv:hep-th/0304105. Bibcode:2004PhRvD..69f5014B. doi:10.1103/PhysRevD.69.065014.
• Bohm, David (1952). A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of "Hidden Variables" I. Physical Review. 85: 166—179. Bibcode:1952PhRv...85..166B. doi:10.1103/PhysRev.85.166. (full text)
• Bohm, David (1952). A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of "Hidden Variables", II. Physical Review. 85: 180—193. Bibcode:1952PhRv...85..180B. doi:10.1103/PhysRev.85.180. (full text)
• Bohm, David (1990). A new theory of the relationship of mind and matter (PDF). Philosophical Psychology. 3 (2): 271—286. doi:10.1080/09515089008573004.
• Bohm, David; B.J. Hiley (1993). The Undivided Universe: An ontological interpretation of quantum theory. London: Routledge. ISBN 0-415-12185-X.
• Dürr, Detlef; Sheldon Goldstein; Roderich Tumulka; Nino Zanghì (December 2004). Bohmian Mechanics (PDF). Physical Review Letters. 93 (9): 090402. arXiv:quant-ph/0303156. Bibcode:2004PhRvL..93i0402D. doi:10.1103/PhysRevLett.93.090402. ISSN 0031-9007. PMID 15447078.
• Goldstein, Sheldon (2001). Bohmian Mechanics. Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• Hall, Michael J. W. (2004). Incompleteness of trajectory-based interpretations of quantum mechanics. Journal of Physics a Mathematical and General. 37: 9549—9556. arXiv:quant-ph/0406054. Bibcode:2004JPhA...37.9549H. doi:10.1088/0305-4470/37/40/015. (Demonstrates incompleteness of the Bohm interpretation in the face of fractal, differentialble-nowhere wavefunctions.)
• Holland, Peter R. (1993). The Quantum Theory of Motion : An Account of the de Broglie–Bohm Causal Interpretation of Quantum Mechanics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-48543-6.
• Nikolic, H. (2004). Relativistic quantum mechanics and the Bohmian interpretation. Foundations of Physics Letters. 18: 549—561. arXiv:quant-ph/0406173. Bibcode:2005FoPhL..18..549N. doi:10.1007/s10702-005-1128-1.
• Passon, Oliver (2004). Why isn't every physicist a Bohmian?. arXiv:quant-ph/0412119. Bibcode:2004quant.ph.12119P.
• Sanz, A. S.; F. Borondo (2003). A Bohmian view on quantum decoherence. European Physical Journal D. 44: 319—326. arXiv:quant-ph/0310096. Bibcode:2007EPJD...44..319S. doi:10.1140/epjd/e2007-00191-8.
• Sanz, A. S. (2005). A Bohmian approach to quantum fractals. Journal of Physics A: Math. Gen. 38: 319. arXiv:quant-ph/0412050. Bibcode:2005JPhA...38.6037S. doi:10.1088/0305-4470/38/26/013. (Describes a Bohmian resolution to the dilemma posed by non-differentiable wavefunctions.)
• Silverman, Mark P. (1993). And Yet It Moves: Strange Systems and Subtle Questions in Physics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-44631-7.
• Streater, Ray F. (2003). Bohmian mechanics is a 'lost cause'. Процитовано 25 червня 2006.
• Valentini, Antony; Hans Westman (2004). Dynamical Origin of Quantum Probabilities. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 461: 253—272. arXiv:quant-ph/0403034. Bibcode:2005RSPSA.461..253V. doi:10.1098/rspa.2004.1394.
• Bohmian mechanics on arxiv.org

Література

• John S. Bell: Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics: Collected Papers on Quantum Philosophy, Cambridge University Press, 2004, ISBN 0-521-81862-1
• David Bohm, Basil Hiley: The Undivided Universe: An Ontological Interpretation of Quantum Theory, Routledge Chapman & Hall, 1993, ISBN 0-415-06588-7
• Detlef Dürr, Sheldon Goldstein, Nino Zanghì: Quantum Physics Without Quantum Philosophy, Springer, 2012, ISBN 978-3-642-30690-7
• Detlef Dürr, Stefan Teufel: Bohmian Mechanics: The Physics and Mathematics of Quantum Theory, Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89343-1
• Peter R. Holland: The quantum theory of motion, Cambridge University Press, 1993 (re-printed 2000, transferred to digital printing 2004), ISBN 0-521-48543-6

Посилання

• "Гідродинаміка пілотованих хвиль" Bush, J. W. M., Annual Review of Fluid Mechanics, 2015
• "Bohmian Mechanics" (Стенфордська філософська енциклопедія)
• Відео з відповідями на типові запитання про бомівську механіку
• "Bohmian-Mechanics.net", домашня сторінка міжнародної дослідницької мережі по бомівської механіці, яка була розпочата Д. Дюрром, С. Ґольдштейном і Н. Занґі.
• Робоча група бомівської механіки в Мюнхені (Д. Дюрр)
• Група Бомівської механіки в університеті Інсбруку (Г. Ґрюбл)
• "Пілотні хвилі, бомівської метафізика і основи квантової механіки", курс лекцій з теорії де Бройля-Бома від Майка Тавлера з Кембриджського університету.
• "Напрямки 21-го століття в теорії де Бройля-Бома і за її межами", Серпень 2010 Міжнародна конференція з теорії де Бройля-Бома. Сайт містить слайди всіх доповідей останніх ультрасучасних досліджень теорії.
• "Спостереження за траєкторіями одного фотона за допомогою слабкого вимірювання"
• "Бомівської траєкторії вже більше не "приховані змінні"
• Спільнота Девіда Бома