Спектральна теорія

У математиці, спектральна теорiя — загальний термiн для теорiй, якi розширюють поняття власних векторiв i власних чисел квадратної матрицi на бiльш ширшу теорiю структури операторiв у рiзноманiтних математичних просторах. Дана теорiя — результат дослiджень лiнiйної алгебри, систем лiнiйних рiвнянь та їх узагальнень. Спектральна теорiя пов’язана з теорiєю аналiтичних функцiй, оскiльки спектральнi властивостi оператора пов’язанi з аналiтичними функцiями спектрального параметра.

Спектральна теорiя у математицi

Термiн спектральна теорiя був введений Давiдом Гiльбертом у його оригiнальному формулюваннi теорiї гiльбертових просторiв, яка була представлена в термiнах квадратичних форм нескiнченної кiлькостi змiнних. Таким чином, оригiнальна спектральна теорема була задумана як узагальнення теореми про головнi осi елiпсоїда на нескiнченновимiрний випадок. Тому, бiльш пiзнiше вiдкриття в квантовiй механiцi того, що спектральна теорiя може пояснити особливостi атомних спектрiв, було випадковим. Сам Гiльберт був здивований несподiваним застосуванням цiєї теорiї, зазначивши, що "Я розробив теорiю нескiнченної кiлькостi змiнних iз суто математичних iнтересiв i навiть назвав її “спектральним аналiзом”, не передбачаючи, що вона згодом знайде застосування при дослiдженнi спектрiв у фiзицi."

Iснують три основних шляхи формулювання спектральної теорiї, кожен з яких знаходить застосування в рiзних областях. Пiсля оригiнального формулювання Гiльберта, подальший розвиток абстрактних гiльбертових просторiв i спектральної теорiї окремих нормальних операторiв на них, добре вiдповiдали вимогам фізики, прикладом чого є дослiдження фон Неймана.

Подальша теорiя, побудована на цьому, використовувала банаховi алгебри. Цей розвиток привiв до представлень Гельфанда, якi охоплюють комутативний випадок, i далi до некомутативного гармонiчного аналiзу.

Рiзницю мiж цими пiдходами можна побачити розглянувши зв’язок iз аналiзом Фур'є. Перетворення Фур'є на дiйснiй прямiй є в деякому сенсi спектральною теорiєю диференцiювання за допомогою диференцiального оператора. Але, щоб мати можливiсть працювати з такими об’єктами, треба вже розглядати узагальненi власнi функцiї (наприклад, за допомогою оснащеного гiльбертового простору). З iншого боку, легко побудувати групову алгебру, спектр якої буде охоплювати бiльшiсть властивостей перетворення Фур'є, i це досягається за допомогою дуальностi Понтрягiна.

Також можна вивчати спектральнi властивостi операторiв на банахових просторах. Наприклад, компактнi оператори на цих просторах мають спектральнi властивостi, аналогiчнi властивостям матриць.

Спектральна теорiя у фiзицi

Використання спектральної теорiї у фiзицi вібрацій можна обґрунтувати наступним чином:

Спектральна теорiя пов’язана з дослiдженням локальних коливань рiзних об’єктiв, починаючи вiд атомів i молекул в хiмiї до перешкод в акустичних хвилеводах.

Цi коливання мають частоти, i задача полягає в тому, щоб визначити, коли виникають цi локалiзованi коливання, i як обчислити частоти.

Це дуже складна проблема, оскiльки кожен об’єкт має не лише основний тон, а й складний набiр обертонiв, якi радикально вiдрiзняються вiд одного тiла до iншого.

Такi фiзичнi iдеї не мають нiчого спiльного з математичною теорiєю на технiчному рiвнi, але є прикладами непрямого використання (див.,наприклад запитання Марка Каца Чи чуєте ви форму барабана?). Запозичення Гiльбертом термiну “спектр” пов’язане з роботою Вiльгельма Вiртiнгера про диференцiальне рiвняння Гiлла 1897 року (як стверджує Жан Д'єдонне), i це пiдхопили його учнi в першому десятилiттi двадцятого столiття, серед яких Ерхард Шмiдт i Герман Вейль. Ерхард Шмiдт та Фрiґiс Рiсс на основi iдей Гiльберта розробили концептуальну основу гiльбертового простору.

Майже двадцять рокiв потому, пiсля побудови квантової механiки на основi рiвняння Шредiнгера, було встановлено зв’язок iз атомними спектрами. Як зазначав Анрі Пуанкаре, зв’язок з математичною фiзикою вібрацій вже розглядався ранiше, але вiн був вiдхилений через простi якiснi причини, а саме через вiдсутнiсть пояснення серії Бальмера. Пiзнiшi вiдкриття в квантовiй механiцi, а саме здатнiсть спектральної теорiї пояснити особливостi атомних спектрiв, виявились випадковими, а не результатом дослiджень спектральної теорiї Гiльберта.

Визначення спектру

Розглянемо обмежене лiнiйне перетворення $T$, визначене скрiзь над загальним банаховим простором. Розглянемо перетворення

$R_{\zeta }=(\zeta I-T)^{-1}.$

Тут $I$ — тотожний оператор, а $\zeta$ — комплексне число. Обернений оператор для оператора $T$, тобто $T^{-1}$, визначається як

$TT^{-1}=T^{-1}T=I.$

Якщо $T^{-1}$ iснує, то оператор $T$ називається регулярним. Якщо не iснує — синґулярним.

За цими означеннями резольвентна множина оператора $T$ — множина всiх комплексних чисел $\zeta$ таких, що перетворення $R_{\zeta }$ iснує i є обмеженим. Цю множину часто позначають як $\rho (T)$. Спектр оператора $T$ — це множина всiх комплексних чисел $\zeta$ для яких перетворення $R_{\zeta }$ не iснує або є необмеженим. Функцiя $R_{\zeta }$ для всiх $\zeta$ в $\rho (T)$ (тобто скрiзь, де $R_{\zeta }$ iснує як обмежений оператор) називається резольвентою оператора $T$. Отже, спектр оператора $T$ є доповненням до резольвентної множини оператора $T$ у комплекснiй площинi. Кожне власне значення оператора $T$ належить $\sigma (T)$, але $\sigma (T)$ можуть належати числа, якi не є власними значеннями.

Це означення використовується для банахового простору, але, звичайно, iснують й iншi типи просторiв, наприклад, [[Топологічний векторний простір |топологiчнi векторнi простори]], якi включають i банаховi простори, але можуть бути бiльш загальнiшi простори. З iншого боку, до банахових просторiв вiдносяться i гiльбертовi простори, i саме цi простори знаходять застосування та найбагатшi результати. З вiдповiдними обмеженнями можна багато сказати про структуру спектрiв перетворень в гiльбертовому просторi. Зокрема, для самоспряжених операторiв спектр належить дiйснiй прямiй i (у загальному випадку) є спектральною комбiнацiєю точкового спектра дискретних власних значень та неперервного спектра.

Коротко про спектральну теорiю

У функцiональному аналiзi та лiнiйнiй алгебрi спектральна теорема визначає умови за яких оператор може бути представлений у простiшiй формi як сума бiльш простих операторiв. Оскiльки повне строге пред- ставлення не пiдходить для цiєї статтi, то використовуємо пiдхiд, який дозволяє уникнути бiльшої частини строгостi i задовольняє формальному розгляду з метою бути зрозумiлiшим для неспецiалiста.

Дану тему найлегше описати увiвши бра-кет систему позначень Дiрака для операторiв. Наприклад, дуже частинний лiнiйний оператор $L$ можна записати у виглядi дiадичного добутку:

$L=|k_{1}\rangle \langle b_{1}|,$

у термінах "бра" $\langle b_{1}|$ і "кет" $|k_{1}\rangle$. Функція $f$ описується кетом як $|f\rangle$. Функція $f(x)$ визначена на координатах $(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )$ позначається як

$f(x)=\langle x,f\rangle$

і модуль функції $f$ визначається за допомогою формули

$\|f\|^{2}=\langle f,f\rangle =\int \langle f,x\rangle \langle x,f\rangle \,{\rm {d}}x=\int f^{*}(x)f(x)\,{\rm {d}}x,$

де позначення "$*$" — це комплексне спряження. Такий вибiр внутрiшнього добутку визначає дуже специфiчний предгiльбертовий простiр, що обмежує загальнiсть наведених нижче аргументiв.

Тоді дія оператора $L$ на функцію $f$ має вигляд

$L|f\rangle =|k_{1}\rangle \langle b_{1}|f\rangle ,$

тобто у результаті дії оператора $L$ на функцію $f$ утворюється нова функція $|k_{1}\rangle$, яку помножено на внутрішній добуток $\langle b_{1}|f\rangle$.

У більш загальному випадку лінійний оператор $L$ можна представити як

$L=\lambda _{1}|e_{1}\rangle \langle f_{1}|+\lambda _{2}|e_{2}\rangle \langle f_{2}|+\lambda _{3}|e_{3}\rangle \langle f_{3}|+\dots ,$

де $\{\lambda _{i}\}$ — скаляри, $\{|e_{i}\rangle \}$ — базис, $\{\langle f_{i}|\}$ — дуальний базис простору.

Зв'язок мiж базисом i дуальним базисом частково можна описати наступним чином:

$\langle f_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}.$

Якщо використовувати такий формалізм, то $\{\lambda _{i}\}$ — це власнi значення, а $\{|e_{i}\rangle \}$ — це власнi функцiї оператора $L$. Власнi значення знаходяться в спектрi оператора $L$.

Деякі природні запитання:

• За яких обставин працює цей формалiзм, i для яких операторiв $L$ можливi розклади в ряди iнших операторiв?
• Чи можна виразити будь-яку функцiю $f$ через власнi функцiї (вони утворюють базис Шаудера) i за яких обставин виникає точковий чи неперервний спектр?
• Чим вiдрiзняються формалiзми нескiнченновимiрних та скiнченновимiрних просторiв?
• Чи можна узагальнити цi iдеї на iншi класи функцiональних просторiв?

Вiдповiдi на цi питання вiдносяться до спектральної теорiї i потребують значних знань в областi функцiонального аналiзу та матричної алгебри.

Розклад одиницi

Тут представлено пiдхiд, не досить строгий як i в попередньому пунктi, з використанням бра-кет позначень i опусканням багатьох деталей важливих у випадку строгого викладу. Строгий математичний виклад матерiалу можна знайти в рiзноманiтних джерелах. Зокрема, розмiрнiсть $n$ простору буде скiнченною.

Використовуючи бра-кет позначення наведенi вище, тотожний оператор можна записати як

$I=\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|,$

де як і вище вважаємо, що $\{|e_{i}\rangle \}$ — базис і $\{\langle f_{i}|\}$ — дуальний базис для простору, що задовольняє рівність

$\langle f_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}.$

Це спiввiдношення для тотожної операцiї називається представленням або розкладом одиницi. Це формальне представлення задовольняє основну властивiсть для тотожного оператора

$I^{k}=I,$

яка справедлива для будь-якого натурального числа $k$.

Застосовуючи розклад одиниці до будь-якої функції з простору $|\psi \rangle$, отримуємо формулу

$I|\psi \rangle =|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}|e_{i}\rangle ,$

яка є узагальненням розкладу Фур'є функції $\psi$ у термінах базисних функцій $\{e_{i}\}$. Тут $c_{i}=\langle f_{i}|\psi \rangle$.

Нехай задано деяке операторне рівняння вигляду

$O|\psi \rangle =|h\rangle$

з функцією $h$ із простору, це рівняння можна розв'язати у вищевказаному базисі за допомогою формальних маніпуляцій:

$O|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}\left(O|e_{i}\rangle \right)=\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|h\rangle ,$

$\langle f_{j}|O|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}\langle f_{j}|O|e_{i}\rangle =\sum _{i=1}^{n}\langle f_{j}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|h\rangle =\langle f_{j}|h\rangle ,\quad \forall j,$

які перетворюють операторне рівняння в матричне рівняння, яке визначає невідомі коефіцієнти $c_{j}$ в термінах узагальнених коефіцієнтів Фур'є $\langle f_{j}|h\rangle$ функції $h$ і матричні елементи $O_{ji}=\langle f_{j}|O|e_{i}\rangle$ оператора $O$.

Роль спектральної теорії полягає у встановленні природи й існування базису та дуального базису. Зокрема, базис може складатися з власних функцій деякого лінійного оператора $L$:

$L|e_{i}\rangle =\lambda _{i}|e_{i}\rangle ,$

де $\{\lambda _{i}\}$ — власні значення оператора $L$ зі спектру оператора $L$. Тоді розклад одиниці наведений вище забезпечує діадний розклад для оператора $L$:

$LI=L=\sum _{i=1}^{n}L|e_{i}\rangle \langle f_{i}|=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|.$

Резольвентний оператор

Використовуючи спектральну теорію, резольвентний оператор $R$,

$R=(\lambda I-L)^{-1},$

можна оцінити в термінах власних функцій і власних значень оператора $L$ і знайти функцію Гріна, що відповідає оператору $L$. Застосовуючи оператор $R$ до деякої довільної функції $\varphi$ простору, отримуємо

$R|\varphi \rangle =(\lambda IL)^{-1}|\varphi \rangle =\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\lambda -\lambda _{i}}}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|\varphi \rangle .$

Ця функція має полюси в комплексній $\lambda$ — площині для кожного власного значення оператора $L$. Таким чином, використовуючи теорію лишків,

${\frac {1}{2\pi {\rm {i}}}}\oint _{C}R|\varphi \rangle {\rm {d}}\lambda =-\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|\varphi \rangle =-|\varphi \rangle ,$

де криволінійний інтеграл береться за контуром $C$, який включає всі власні значення оператора $L$.

Нехай наші функції визначені за деякими координатами $\{x_{j}\}$, тобто

$\langle x,\varphi \rangle =\varphi (x_{1},x_{2},\dots ),$

де $\delta (x-y)=\delta (x_{1}-y_{1},x_{2}-y_{2},x_{3}-y_{3},\dots )$ — дельта-функція Дірака, тоді можна записати

$\langle x,\varphi \rangle =\int \langle x,y\rangle \langle y,\varphi \rangle \,{\rm {d}}y.$

Отже,

${\begin{aligned}\left\langle x,{\frac {1}{2\pi {\rm {i}}}}\oint _{C}{\frac {\varphi }{\lambda I-L}}\,{\rm {d}}\lambda \right\rangle &={\frac {1}{2\pi {\rm {i}}}}\oint _{C}{\rm {d}}\lambda \left\langle x,{\frac {\varphi }{\lambda I-L}}\right\rangle \\&={\frac {1}{2\pi {\rm {i}}}}\oint _{C}{\rm {d}}\lambda \int {\rm {d}}y\left\langle x,{\frac {y}{\lambda I-L}}\right\rangle \langle y,\varphi \rangle .\end{aligned}}$

Функція $G(x,y;\lambda )$, визначена як

${\begin{aligned}G(x,y;\lambda )&=\left\langle x,{\frac {y}{\lambda I-L}}\right\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\langle x,e_{i}\rangle \left\langle f_{i},{\frac {e_{j}}{\lambda I-L}}\right\rangle \langle f_{j},y\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\langle x,e_{i}\rangle \langle f_{i},y\rangle }{\lambda -\lambda _{i}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {e_{i}(x)f_{i}^{*}(y)}{\lambda -\lambda _{i}}},\end{aligned}}$

називається функцією Гріна для оператора $L$ і задовольняє співвідношення:

${\frac {1}{2\pi {\rm {i}}}}\oint _{C}G(x,y;\lambda )\,{\rm {d}}\lambda =-\sum _{i=1}^{n}\langle x,e_{i}\rangle \langle f_{i},y\rangle =-\langle x,y\rangle =-\delta (x-y).$

Операторнi рiвняння

Розглянемо операторне рівняння

$(O-\lambda I)|\psi \rangle =|h\rangle$

у координатній формі

$\int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle \langle y,\psi \rangle \,{\rm {d}}y=h(x).$

Частинним випадком є $\lambda =0$.

Функція Гріна, визначена в попередньому розділі, має вигляд:

$\langle y,G(\lambda )z\rangle =\langle y,(O-\lambda I)^{-1}z\rangle =G(y,z;\lambda )$

і задовольняє рівняння

${\begin{aligned}\int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle \langle y,G(\lambda )z\rangle \,{\rm {d}}y&=\int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle {\big \langle }y,(O-\lambda I)^{-1}z{\big \rangle }{\rm {d}}y\\&=\langle x,z\rangle =\delta (x-z).\end{aligned}}$

Використовуючи властивість функції Гріна

$\int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle G(y,z;\lambda )\,{\rm {d}}y=\delta (x-z),$

а потім домноживши обидві частини рівняння на $h(z)$ та проінтегрувавши, отримаємо

$\int {\rm {d}}zh(z)\int {\rm {d}}y\langle x,(O-\lambda I)y\rangle G(y,z;\lambda )=\int {\rm {d}}y\langle x,(O-\lambda I)y\rangle \int {\rm {d}}zh(z)G(y,z;\lambda )=h(x),$

що передбачає розв'язок

$\psi (x)=\int h(z)G(x,z;\lambda )\,{\rm {d}}z.$

Тобто функція $\psi (x)$, яка задовольняє операторному рівнянню, буде знайдена, якщо знайти спектр $O$ і побудувати функцію Гріна $G$, наприклад, використовуючи формулу

$G(x,z;\lambda )=\sum _{i=1}^{n}{\frac {e_{i}(x)f_{i}^{*}(z)}{\lambda -\lambda _{i}}}.$

Звичайно, є багато інших способів знайти функцію Гріна $G$. Для більш детальної інформації можна ознайомитися зі статтями, присвяченими функціям Гріна та [[|Інтегральне рівняння Фредгольма|інтегральним рівнянням Фредгольма]]. З іншого боку, не слід забувати, що попередній аналіз є чисто формальним, і що строгий розгляд цих рівнянь вимагає досить складну математичну складову, що включає, зокрема, хороші базові знання в області функціонального аналізу, гільбертових просторів, узагальнених функцій і так далі. Зверніться до цих статей і посилань для більш детальної інформації.

Спектральна теорема і відношення Релея

Задачі оптимізації можуть бути найкориснішими прикладами комбінаторної значущості власних значень і власних векторів у симетричних матрицях, особливо для відношення Релея відносно матриці $M$.

Теорема. Нехай $M$ — симетрична матриця, а ${\boldsymbol {x}}$ — ненульовий вектор, який максимізує відношення Релея відносно матриці $M$. Тоді ${\boldsymbol {x}}$ є власним вектором матриці $M$ з власним значенням, що дорівнює відношенню Релея. Більше того, це власне значення є найбільшим власним значенням матриці $M$.

Доведення. Нехай має місце спектральна теорема. Нехай $\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots \leq \lambda _{n}$ — власні значення матриці $M$. Оскільки $\{{\boldsymbol {v}}_{i}\}$ утворюють ортонормований базис, то будь-який вектор ${\boldsymbol {x}}$ можна виразити в цьому базисі як

${\boldsymbol {x}}=\sum _{i}{\boldsymbol {v}}_{i}^{\rm {T}}{\boldsymbol {x}}{\boldsymbol {v}}_{i}.$

Спосіб довести цю формулу досить простий. А саме,

${\begin{aligned}{\boldsymbol {v}}_{j}^{\rm {T}}\sum _{i}{\boldsymbol {v}}_{i}^{\rm {T}}{\boldsymbol {x}}{\boldsymbol {v}}_{i}&=\sum _{i}{\boldsymbol {v}}_{i}^{\rm {T}}{\boldsymbol {x}}{\boldsymbol {v}}_{j}^{\rm {T}}{\boldsymbol {v}}_{i}\\&={\big (}{\boldsymbol {v}}_{j}^{\rm {T}}{\boldsymbol {x}}{\big )}{\boldsymbol {v}}_{j}^{\rm {T}}{\boldsymbol {v}}_{j}\\&={\boldsymbol {v}}_{j}^{\rm {T}}{\boldsymbol {x}}\end{aligned}}$

оцінює відношення Релея відносно ${\boldsymbol {x}}$:

${\begin{aligned}{\boldsymbol {x}}^{\rm {T}}M{\boldsymbol {x}}&=\left(\sum _{i}{\big (}{\boldsymbol {v}}_{i}^{\rm {T}}{\boldsymbol {x}}{\big )}{\boldsymbol {v}}_{i}\right)^{\rm {T}}M\left(\sum _{j}{\big (}{\boldsymbol {v}}_{j}^{\rm {T}}{\boldsymbol {x}}{\big )}{\boldsymbol {v}}_{j}\right)\\&=\left(\sum _{i}{\big (}{\boldsymbol {v}}_{i}^{\rm {T}}{\boldsymbol {x}}{\big )}{\boldsymbol {v}}_{i}^{\rm {T}}\right)\left(\sum _{j}{\big (}{\boldsymbol {v}}_{j}^{\rm {T}}{\boldsymbol {x}}{\big )}{\boldsymbol {v}}_{j}\lambda _{j}\right)\\&=\sum _{i,j}{\big (}{\boldsymbol {v}}_{i}^{\rm {T}}{\boldsymbol {x}}{\big )}{\boldsymbol {v}}_{i}^{\rm {T}}{\big (}{\boldsymbol {v}}_{j}^{\rm {T}}{\boldsymbol {x}}{\big )}{\boldsymbol {v}}_{j}\lambda _{j}\\&=\sum _{j}{\big (}{\boldsymbol {v}}_{j}^{\rm {T}}{\boldsymbol {x}}{\big )}{\big (}{\boldsymbol {v}}_{j}^{\rm {T}}{\boldsymbol {x}}{\big )}\lambda _{j}\\&=\sum _{j}{\big (}{\boldsymbol {v}}_{j}^{\rm {T}}{\boldsymbol {x}}{\big )}^{2}\lambda _{j}\leq \lambda _{n}\sum _{j}{\big (}{\boldsymbol {v}}_{j}^{\rm {T}}{\boldsymbol {x}}{\big )}^{2}\\&=\lambda _{n}{\boldsymbol {x}}^{\rm {T}}{\boldsymbol {x}},\end{aligned}}$

де в останньому рядку використано рівність Парсеваля. Отже, отримуємо

${\frac {{\boldsymbol {x}}^{\rm {T}}M{\boldsymbol {x}}}{{\boldsymbol {x}}^{\rm {T}}{\boldsymbol {x}}}}\leq \lambda _{n},$

а тому відношення Релея завжди менше за $\lambda _{n}$.

Див. також

• Функцiї операторiв
• Теорія операторів
• Пари Лакса
• Метод найменших квадратiв у спектральному аналiзi
• Проєктор Рiса
• Самоспряжений оператор
• Спектр (функцiональний аналiз)
• Резольвента
• Розклад спектру (функцiональний аналiз)
• Спектральний радіус
• Спектр оператора
• Спектральна теорема
• Спектральна теорiя компактних операторiв
• Спектральна теорiя нормальних 𝐶*-алгебр
• Теорiя Штурма–Лiувiля
• Інтегральне рівняння
• Теорія Фредгольма
• Компактний оператор
• Ізоспектральні оператори
• Повний метричний простір
• Спектральна геометрія
• Спектральна теорія графів
• Список тем функцiонального аналiзу

Література

• Edward Brian Davies (1996). Spectral Theory and Differential Operators; Volume 42 in the Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press. ISBN 0-521-58710-7.
• Nelson Dunford; Jacob T Schwartz (1988). Linear Operators, Spectral Theory, Self Adjoint Operators in Hilbert Space (Part 2) (вид. Paperback reprint of 1967). Wiley. ISBN 0-471-60847-5.
• Nelson Dunford; Jacob T Schwartz (1988). Linear Operators, Spectral Operators (Part 3) (вид. Paperback reprint of 1971). Wiley. ISBN 0-471-60846-7.
• Sadri Hassani (1999). Chapter 4: Spectral decomposition. Mathematical Physics: a Modern Introduction to its Foundations. Springer. ISBN 0-387-98579-4.
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001). Spectral theory of linear operators. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Shmuel Kantorovitz (1983). Spectral Theory of Banach Space Operators;. Springer.
• Arch W. Naylor, George R. Sell (2000). Chapter 5, Part B: The Spectrum. Linear Operator Theory in Engineering and Science; Volume 40 of Applied mathematical sciences. Springer. с. 411. ISBN 0-387-95001-X.
• Gerald Teschl (2009). Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5.
• Valter Moretti (2018). Spectral Theory and Quantum Mechanics; Mathematical Foundations of Quantum Theories, Symmetries and Introduction to the Algebraic Formulation 2nd Edition. Springer. ISBN 978-3-319-70705-1.

Зовнішні посилання

• Evans M. Harrell II: A Short History of Operator Theory
• Gregory H. Moore (1995). The axiomatization of linear algebra: 1875-1940. Historia Mathematica. 22 (3): 262—303. doi:10.1006/hmat.1995.1025.
• Steen, L. A. (April 1973). Highlights in the History of Spectral Theory. The American Mathematical Monthly. 80 (4): 359. doi:10.2307/2319079.