Число Люка

Числа Люка задаються рекурентною формулою

$L_{n}=L_{n-1}+L_{n-2}$

із початковими значеннями $L_{0}=2$ и $L_{1}=1$.

Послідовність чисел Люка починається так:

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, … (послідовність A000032 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Формула загального члена

Послідовність $L_{n}$ можна виразити як функцію від n:

$~L_{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}$

де $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ — золотий переріз.

Узагальнення

Числа Люка можна також визначити для від’ємних індексів за формулою:

$L_{-n}=(-1)^{n}L_{n}$

Едуард Люка ввів поняття «узагальнених послідовностей Фібоначчі», частковим випадком яких є числа Фібоначчі і числа Люка

${\begin{matrix}F_{n}=U_{n}(1,-1)\\L_{n}=V_{n}(1,-1)\end{matrix}}$