Просте число Вілсона

Просте число Вілсона — просте число $p$, таке, що $p^{2}$ ділить $(p-1)!+1$, де «!» означає факторіал. Названо на честь англійського математика Джона Вілсона. Зауважте, що за теоремою Вілсона будь-яке просте число $p$ ділить $(p-1)!+1$.

Відомі лише три простих числа Вілсона — це 5, 13 і 563 (послідовність A007540 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS). Якщо існують інші, вони мають бути більшими за $2\cdot 10^{13}$.

Висловлено гіпотеза, що існує нескінченно багато простих чисел Вілсона, та їх кількість в інтервалі $[x,y]$ близька до $log(log(y)/log(x))$.

Також висунуто гіпотезу (див. коментарі до послідовності в OEIS), що $p$ — число Вілсона тоді й лише тоді, коли:

$\sum _{i=1}^{p-1}i^{p-1}=1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}\equiv p-1{\pmod {p^{2}}}$.

Зроблено кілька спроб пошуку простих чисел Вілсона.

Проєкт розподілених обчислень Ibercivis включає пошук простих чисел Вілсона. Інший пошук координується проєктом mersenneforum.

Узагальнення

Майже прості числа Вілсона

Прості числа $p$, для яких виконується $(p-1)!\equiv -1+Bp{\pmod {p^{2}}}$ для малих $|B|$ називають майже простими числами Вілсона. Майже прості числа Вілсона з $B=0$ є простими числами Вілсона. У таблиці перелічено всі такі числа з $|B|\leq 100$ від $10^{6}$ до $4\cdot 10^{11}$:

p	B
1282279	+20
1306817	−30
1308491	−55
1433813	−32
1638347	−45
1640147	−88
1647931	+14
1666403	+99
1750901	+34
1851953	−50
2031053	−18
2278343	+21
2313083	+15
2695933	−73
3640753	+69
3677071	−32
3764437	−99
3958621	+75
5062469	+39
5063803	+40
6331519	+91
6706067	+45
7392257	+40
8315831	+3
8871167	−85
9278443	−75
9615329	+27
9756727	+23
10746881	−7
11465149	−62
11512541	−26
11892977	−7
12632117	−27
12893203	−53
14296621	+2
16711069	+95
16738091	+58
17879887	+63
19344553	−93
19365641	+75
20951477	+25
20972977	+58
21561013	−90
23818681	+23
27783521	−51
27812887	+21
29085907	+9
29327513	+13
30959321	+24
33187157	+60
33968041	+12
39198017	−7
45920923	−63
51802061	+4
53188379	−54
56151923	−1
57526411	−66
64197799	+13
72818227	−27
87467099	−2
91926437	−32
92191909	+94
93445061	−30
93559087	−3
94510219	−69
101710369	−70
111310567	+22
117385529	−43
176779259	+56
212911781	−92
216331463	−36
253512533	+25
282361201	+24
327357841	−62
411237857	−84
479163953	−50
757362197	−28
824846833	+60
866006431	−81
1227886151	−51
1527857939	−19
1636804231	+64
1686290297	+18
1767839071	+8
1913042311	−65
1987272877	+5
2100839597	−34
2312420701	−78
2476913683	+94
3542985241	−74
4036677373	−5
4271431471	+83
4296847931	+41
5087988391	+51
5127702389	+50
7973760941	+76
9965682053	−18
10242692519	−97
11355061259	−45
11774118061	−1
12896325149	+86
13286279999	+52
20042556601	+27
21950810731	+93
23607097193	+97
24664241321	+46
28737804211	−58
35525054743	+26
41659815553	+55
42647052491	+10
44034466379	+39
60373446719	−48
64643245189	−21
66966581777	+91
67133912011	+9
80248324571	+46
80908082573	−20
100660783343	+87
112825721339	+70
231939720421	+41
258818504023	+4
260584487287	−52
265784418461	−78
298114694431	+82

Числа Вілсона

Число Вілсона — це ціле $m$, таке, що $W(m)\equiv 0{\pmod {m}}$, де $W(m)$ означає дріб Вілсона

$W(m)={\frac {(m-1)!+1}{m}}$

(послідовність A157250 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Якщо $m$ — просте, воно буде і простим Вілсона. З урахуванням числа $1$ є 13 чисел Вілсона до $5\cdot 10^{8}$.

Див. також

• Просте число Віферіха
• Просте число Фібоначчі — Віферіха
• Просте число Волстенголма
• PrimeGrid

Література

• N. G. W. H. Beeger. Quelques remarques sur les congruences r^p−1 ≡ 1 (mod p²) et (p − 1!) ≡ −1 (mod p²) // The Messenger of Mathematics : журнал. — 1913–1914. — Vol. 43. — P. 72—84.
• Karl Goldberg. A table of Wilson quotients and the third Wilson prime // London Mathematical Society : журнал. — 1953. — Vol. 28, no. 2. — P. 252—256. — DOI:10.1112/jlms/s1-28.2.252.
• Paulo Ribenboim. The new book of prime number records. — Springer-Verlag, 1996. — С. 346. — ISBN 0-387-94457-5.
• Richard E. Crandall; Karl Dilcher, Carl Pomerance. A search for Wieferich and Wilson primes // Math. Comput. : журнал. — 1997. — Vol. 66, no. 217. — P. 433—449. — DOI:10.1090/S0025-5718-97-00791-6.
• Richard E. Crandall; Carl Pomerance. Prime Numbers: A Computational Perspective. — Springer-Verlag, 2001. — С. 29. — ISBN 0-387-94777-9.
• Erna H. Pearson. On the Congruences (p − 1)! ≡ −1 and 2^p−1 ≡ 1 (mod p²) // Math. Comput. : журнал. — 1963. — Vol. 17. — P. 194—195.

Посилання

• The Prime Glossary: Wilson prime^{[недоступне посилання]}
• Weisstein, Eric W. Просте число Вілсона(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Стан пошуку простих чисел Вілсона(англ.)
• Wilson Quotients for composite moduli(англ.)
• On congruences involving Bernoulli numbers and quotients of Fermat and Wilson^{[недоступне посилання]}