Простір Гарді

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Простір Гарді — особливий вид функціональних просторів в комплексному аналізі, аналог -простору з функціонального аналізу. Названий за іменем англійського математика Ґодфрі Гарольда Гарді.

Простори Гарді відіграють важливу роль у вивченні граничних властивостей функцій, гармонічному аналізі, теорії степеневих рядів, лінійних

операторів, випадкових процесів, екстремальних і апроксимаційних задачах.

Означення

[ред. | ред. код]

Простір Гарді при  — це клас голоморфних функцій на відкритому одиничному колі на комплексної площині, що задовольняють наступній умові

Ліва частина цієї нерівності називається -нормою в просторі Гарді або просто нормою Гарді для , і позначається . Як і у випадку -просторів, ця норма узагальнюється на випадок як

Простори Гарді на верхній комплексній півплощині

[ред. | ред. код]

Простір Гарді Hp(H) на верхній комплексній півплощині H за означенням є простором функцій f голоморфних на H з обмеженою квазінормою заданою як

Простір H(H) є простором голоморфних функцій із обмеженою нормою:

Хоча одиничний круг D і верхня комплексна півплощина H відображаються один на одного за допомогою перетворень Мебіуса вони не є рівнозначними як області для просторів Гарді. Зокрема це пояснюється тим, що одиничне коло має скінченну (одновимірну) міру Лебега, а дійсна пряма має нескінченну міру. Проте для H2 справедливим є твердження: якщо m : DH позначає перетворення Мебіуса

то лінійний операторr M : H2(H) → H2(D) заданий як

є ізометричним ізоморфізмом просторів Гільберта.

Простори Гарді на одиничному колі

[ред. | ред. код]

Простори Гарді на одиничному крузі можна розглядати як замкнуті векторні підпростори комплексних -просторів на одиничному колі.

Якщо fHp, де p > 0, то радіальна границя

існує для майже всіх θ. Функція належить до Lp - простору на одиничному колі і також

Також виконується рівність

Якщо функція є рівною нулю на підмножині додатної міри одиничного кола, то f є рівною нулю на всьому одиничному крузі.

Якщо позначити одиничне коло як T і Hp(T) — векторний підпростір простору Lp(T) елементами якого є граничні функції , де f належить Hp, то для p ≥ 1,

де ĝ(n) є коефіцієнтами Фур'є функції g:

Простір Hp(T) є замкнутим підпростором простору Lp(T).

Навпаки для функції Lp(T), де p ≥ 1, можна одержати функцію f , що є гармонічною на одиничному крузі за допомогою інтегральної формули Пуассона Pr:

Тоді f належить Hp тоді і тільки тоді, коли належить Hp(T). Якщо належить Hp(T), тобто має коефіцієнти Фур'є (an)nZ і an = 0 для n < 0, тоді функція f простору Гарді Hp пов'язана з є голоморфною функцією із розкладом в ряд Тейлора:

Властивості

[ред. | ред. код]
  • Для p ≥ 1, простір є простором Банаха.
  • Для випадку є підмножиною множини .
Доведення включення здійснюється з використанням нерівності Єнсена функції яка є опуклою на проміжку (0, 1) згідно умови Тоді
Якщо то супремум по r у правій стороні нерівності є скінченним і тому скінченним є супремум з лівої сторони, а отже
Приклад нижче показує, що включення є строгим, тобто для , як простори функцій
  • Згідно теореми Гарді в означенні можна взяти границю при прямуванні r до 1:
  • Якщо функція і є нулями функції в одиничному крузі з врахуванням кратності, то Навпаки, якщо не більш ніж зліченна множина комплексних чисел із одиничного круга задовольняє цю нерівність, то вона є множиною нулів деякої функції із простору Гарді.
  • Якщо , то існують збіжний добуток Бляшке і голоморфна ніде не рівна нулю на одиничному крузі функція для яких До того ж Добуток Бляшке записується через нулі функції f:
де n — кратність 0 як нуля функції f.
Функція розкладається у добуток зовнішньої функції
і внутрішньої сингулярної функції:
де є функцією класу на одиничному колі, а є невід'ємною сингулярною мірою на одиничному колі.
Також три умови є рівносильними і майже всюди на одиничному колі.
  • Функція є внутрішньою функцією і функції такого виду повністю характеризуються умовами у відкритому одиничному колі і майже всюди на одиничному колі.

Приклади

[ред. | ред. код]
  • Якщо то функція визначена за допомогою основної гілки логарифма належить простору але не належить простору
Для цієї функції виконуються нерівності:
Оскільки для виконується нерівність то додатково ці інтеграли є меншими, ніж а тому
З іншого боку виконуються нерівності
Оскільки то вираз справа у формулі прямує до нескінченності при прямуванні r до 1. Тому також і тому не належить простору
  • Якщо голоморфна функція f є однолистою (ін'єктивною) на одиничному крузі, тоді для всіх Якщо додатково ця функція не є рівною нулю у жодній точці одиничного круга. то для всіх
  • Якщо f є голоморфною у відкритому одиничному крузі, то тоді і тільки тоді, коли f є неперервною на замкнутому одиничному крузі і абсолютно неперервною на одиничному колі.
  • Важливим окремим випадком є Нехай і її розклад у ряд Тейлора має вид Для функції можна ввести норму Тоді і зокрема тоді і тільки тоді коли її норма є скінченною.
Позначаючи де і і враховуючи маємо Тобто є коефіцієнтами Фур'є для як функції дійсної змінної. Тоді згідно рівності Парсеваля: Із цієї рівності випливає твердження.
Звідси, випливає, що як нормований векторний простір є ізометрично ізоморфним простору і зокрема є простором Гільберта.

Посилання

[ред. | ред. код]
  • Burkholder, Donald L.; Gundy, Richard F.; Silverstein, Martin L. (1971), A maximal function characterization of the class Hp, Transactions of the American Mathematical Society, 157: 137—153, doi:10.2307/1995838, JSTOR 1995838, MR 0274767.
  • Cima, Joseph A.; Ross, William T. (2000), The Backward Shift on the Hardy Space, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2083-4
  • Colwell, Peter (1985), Blaschke Products - Bounded Analytic Functions, Ann Arbor: University of Michigan Press, ISBN 978-0-472-10065-1
  • Duren, P. (1970), Theory of Hp-Spaces, Academic Press
  • Fefferman, Charles; Stein, Elias M. (1972), Hp spaces of several variables, Acta Mathematica, 129 (3–4): 137—193, doi:10.1007/BF02392215, MR 0447953.
  • Katznelson, Yitzhak (2004), An Introduction to Harmonic Analysis, Cambridge University Press, ISBN 0-521-83829-0
  • Koosis, P. (1998), Introduction to Hp Spaces, Cambridge tracts in mathematics, т. 115 (вид. Second), Cambridge University Press, ISBN 9780521455213
  • Mashreghi, J. (2009), Representation Theorems in Hardy Spaces, London Mathematical Society student texts, т. 74, Cambridge University Press, ISBN 9780521517683
  • Nikolski, Nikolaï (2019), Hardy Spaces, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 179, Cambridge University Press, ISBN 9781316882108
  • Petersen, K. E. (1977), Brownian Motion, Hardy Spaces and Bounded Mean Oscillation, London Mathematical Society student texts, т. 28, Cambridge University Press, ISBN 9780511662386