Кільце (алгебра)

Алгебричні структури
Групо-подібні Група Напівгрупа / Моноїд Стійки і квандли Квазігрупа і Петля Абелева група Магма Група Лі Теорія груп
Кільце-подібні Кільце Rng Напівкільце Near-ring Групове кільце Комутативне кільце Область цілісності Поле Тіло Lie ring Теорія кілець
Ґратко-подібні Ґратка Напівґратка Доповнена ґратка Лінійний порядок Алгебра Гейтінга Булева алгебра Діаграма ґраток Теорія порядку
Модуле-подібні Модуль Група з операторами Векторний простір Лінійна алгебра
Алгебра-подібні Алгебра Асоціативна Неасоціативна Композитна алгебра Алгебра Лі Градуйована Біалгебра Алгебра Хопфа

Кільце́ — в абстрактній алгебрі це алгебрична структура, в якій визначено дві бінарні операції з властивостями, подібними до додавання і множення цілих чисел. Властивості кілець вивчає теорія кілець.

Означення та нотація

Кільце $\ R$ — це множина з двома бінарними операціями, що зазвичай позначаються «$+$» та «$\cdot$» і називаються додаванням та множенням, яка задовольняє такій системі аксіом:

• $(R,+)$ є комутативною групою. Її називають адитивною групою кільця і нейтральний елемент у ній позначають як $0$ (нуль);
• $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c,\quad (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ (дистрибутивність додавання відносно множення);
• $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$ (асоціативність множення);
• в $(R,\cdot )$ існує нейтральний елемент $1$ (одиниця), що задовольняє: $a\cdot 1=1\cdot a=a.$

Деякі автори не вимагають наявності одиниці, і натомість називають кільця з одиницею унітарними кільцями або кільцями з одиницею.

Розглядаються також кільця, в яких не задовольняється асоціативність множення, наприклад, кільця (або алгебри) Лі. У такому разі, кільця, в яких множення асоціативне, називають асоціативними кільцями.

Надалі в цій статті вважатимемо, що наявність мультиплікативної одиниці та асоціативність множення входять до означення кільця.

Кільця, що задовольняють вимогу комутативності множення $a\cdot b=b\cdot a,$ називають комутативними кільцями. Не всі кільця є комутативними, наприклад, кільце матриць чи кватерніонів.

Символ $\cdot$ зазвичай не пишуть, використовуючи стандартні правила порядку операцій, тому, наприклад, $a+bc$ є скороченим записом $a+b\cdot c$.

Якщо для двох елементів кільця $a$ та $b$ виконується рівність $ab=ba=1,$ то кажуть, що $b$ є оберненим елементом до $a$ відносно множення. В цьому випадку елемент $b$ однозначно визначається елементом $a$ і позначається $b=a^{-1}$ (звичайно, маємо також, що $a=b^{-1}$).

Якщо в кільці немає дільників нуля, відмінних від самого нуля, тобто якщо з $ab=0$ витікає, що або $a=0$, або $b=0$, то кажуть про кільце без дільників нуля. Якщо до того ж кільце є комутативним, то його називають цілісним.

Приклади

• Цілі числа $\mathbb {Z}$ із звичайними додаванням і множенням утворюють комутативне кільце.

• Якщо $n$ — будь-яке натуральне число, то множина $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ залишків ($\operatorname {mod} n$) утворює комутативне кільце залишків з $n$ елементів. Якщо $n=p$ — просте число, то $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ є полем.

• Раціональні, дійсні та комплексні числа є полями, тобто комутативними кільцями, в яких для кожного ненульового елемента існує обернений елемент.

• Поліноми однієї змінної $x$ із цілими коефіцієнтами утворюють комутативне кільце, що позначається $\mathbb {Z} [x].$ Додавання та множення поліномів — почленні, тобто

$(a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{0})+(b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\ldots +b_{0})=(a_{n}+b_{n})x^{n}+(a_{n-1}+b_{n-1})x^{n-1}+\ldots +(a_{0}+b_{0}),$ $(a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{0})\cdot (b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots +b_{0})=a_{n}b_{m}x^{n+m}+(a_{n}b_{m-1}+a_{n-1}b_{m})x^{n+m-1}+\ldots +a_{0}b_{0}.$

Комутативне кільце утворюють поліноми однієї змінної з раціональними, дійсними або комплексними коефіцієнтами.

• Для будь-якого натурального $N$, множина всіх $N\times N$ матриць із цілими елементами утворює кільце, яке позначається $M_{N}(\mathbb {Z} ).\$ Це кільце — некомутативне, якщо $N\geqslant 2.$

• Кватерніони — некомутативне кільце. На відміну від кільця матриць, будь-який ненульовий кватерніон має обернений.

• Групова алгебра $\mathbb {Z} [G]$ довільної групи $G$ — це надзвичайно важливе кільце, за допомогою якого вдається звести чимало питань стосовно груп та, напередусім, їх зображень, до відповідних питань про кільця. Кільце $\mathbb {Z} [G]$ — комутативне тоді, і тільки тоді, коли $G$ — комутативна група.

Властивості кілець

• Якщо кільце містить більше одного елемента, то $0\neq 1$;
• $0\cdot a=a\cdot 0=0$;
• $(-1)\cdot a=-a$;
• $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1},$ якщо $a$ і $b$ обидва мають обернені елементи. Отже множина всіх оборотних елементів кільця є замкненою відносно множення, і тому утворює групу, що позначається $R^{\times }$.

Наприклад, $\mathbb {Z} ^{\times }=\{1,-1\}\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ — циклічна група порядку $2.$

Ідеали

Непорожня підмножина $I$ кільця $R$ називається правим ідеалом, якщо:

• з $a,b\in I$ випливає $a-b\in I$;
• з $a\in I$ випливає $ar\in I$ для будь-якого $r\in R$. Інакше кажучи, ідеал містить усі праві кратні $ar$.

Ліві ідеали визначаються подібно, з заміною правих кратних на ліві кратні $ra$.
Нарешті, двосторонній ідеал — це така підмножина, що вона одночасно є лівим та правим ідеалом.
Для комутативних кілець усі три поняття збігаються, тож говорять просто про ідеал.

Приклади ідеалів у комутативних кільцях:

• нульовий ідеал, що містить лише нуль;
• одиничний ідеал, що містить усі елементи кільця;
• ідеал $(a)$, породжений елементом $a$, що складається з усіх його кратних елементів $ra$, де $r\in R$.

$(a)$ — найменший серед ідеалів, які містять елемент $a$. Його можна також визначити як перетин усіх ідеалів, що містять елемент $a$. Наприклад, ідеал $(2)$ у кільці цілих чисел складається з усіх парних чисел. Так само можна побудувати ідеал $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$, породжений кількома елементами $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$, як сукупність сум вигляду $\sum {r_{i}a_{i}}$, де $r_{i}\in R$, або як перетин усіх ідеалів кільця $R$, які містять елементи $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$. У цьому випадку кажуть, що елементи $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ складають базис цього ідеалу.

Головний ідеал — це ідеал, породжений одним елементом. Нульовий та одиничний ідеали завжди головні, бо вони породжені нульовим та одиничним елементами кільця, відповідно.

Поняття ідеалу узагальнює множину кратних деякого числа в кільці цілих чисел. Перетин двох ідеалів відповідає найменшому спільному кратному двох чисел, сума ідеалів (множина всіляких сум їхніх елементів) — найбільшому спільному дільникові.

Множина простих ідеалів кільця $A$ називається спектром кільця й позначається $\mathrm {Spec} \,A.$ Прості ідеали називаються точками спектру. Наприклад, $\mathrm {Spec} \,\mathbb {Z}$ складається із простих ідеалів (2), (3), (5), (7), (11), … й нульового ідеалу. Або нехай ${\mathcal {O}}_{x}$ — локальне кільце точки $x$ на незвідній алгебричній кривій. $\mathrm {Spec} \,{\mathcal {O}}_{x}$ складається з двох точок — максимального й нульового ідеалу.

Розгляньмо гомоморфізм кілець $\varphi :A\rightarrow B,$ який переводить одиницю одного кільця в одиницю іншого. Для будь-якого простого ідеалу кільця $B$ його прообраз це простий ідеал $A$. Зіставлення будь-якому простому ідеалу його прообразу визначає відображення ${}^{a}\varphi :\mathrm {Spec} \,B\rightarrow \mathrm {Spec} A,$ яке називається асоційованим із гомоморфізмом $\varphi .$ Наприклад, спектр кільця гауссових чисел $\mathbb {Z} [i],\,\,i^{2}-1,$ представляється за допомогою імерсії $\varphi :\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} [i],$ яка визначає відображення ${}^{a}\varphi :\mathrm {Spec} \,\mathbb {Z} [i]\rightarrow \mathrm {Spec} \,\mathbb {Z} .$

Нехай $\omega$ та $\omega '$ це точки $\mathrm {Spec} \,\mathbb {Z}$ та $\mathrm {Spec} \,\mathbb {Z} [i],$ які відповідають нульовим ідеалам. Таким чином, $(\varphi )^{-1}\omega =\omega '.$ Інші точки відповідають простим числам.

$(\varphi )^{-1}(p)$ складається з простих ідеалів кільця $\mathbb {Z} [i],$ які ділять $p.$ Усі такі ідеали є головними ідеалами (їх 2), якщо $p=1(\mod 4),$ та один, якщо $p=2\lor p=3(\mod 4).$

Евклідові кільця та кільця головних ідеалів

Евклідове кільце — це цілісне кільце, в якому для кожного елемента $a\neq 0$ визначено число $g(a)\geq 0$ з такими властивостями:

• Для будь-яких елементів кільця $ab\neq 0$, $b\neq 0$ справедливо $g(ab)\geq g(a)$.
• Якщо елемент $a\neq 0$, то будь-який елемент $b$ можна подати у вигляді

$b=aq+r$,

де або $r=0$, або $g(r)<g(a)$.
Другий пункт у визначенні евклідового кільця узагальнює ділення з остачею в кільцях цілих чисел та многочленів. Для цілих чисел $g(a)=|a|$ (абсолютна величина), для многочленів $g(a)=\deg(a)$ (степінь многочлена). Кільця названі на честь Евкліда, який запропонував алгоритм знаходження найбільшого спільного дільника двох цілих чисел, відомий як алгоритм Евкліда. Цей алгоритм з незначними змінами можна застосувати до будь-яких евклідових кілець, що дозволяє довести таку теорему:

Теорема. В евклідовому кільці кожен ідеал є головним.

Цілісне кільце, в якому кожен ідеал є головним, називається кільцем головних ідеалів. Таким чином, кожне евклідове кільце є кільцем головних ідеалів.

Конструювання нових кілець з даних

• Якщо підмножина $S$ кільця $(R,+,\cdot )$ разом з операціями «$+$» та «$\cdot$», обмеженими $S$, сама є кільцем, і нейтральний елемент $1\in R$ міститься в $S$, тоді $S$ називають підкільцем кільця $(R,+,\cdot )$.
• Центром кільця $R$ називають множину елементів $R$, що комутують з кожним елементом з $R$; таким чином, $c$ міститься в центрі кільця, якщо $cr=rc$ для кожного $r\in R$. Центр є підкільцем кільця $R$. Кажемо, що підкільце $S$ кільця $R$ є центральним, якщо воно є підкільцем центра кільця $R$.
• Прямою сумою двох кілець $R$ і $S$ називаємо декартів добуток $R\times S$ разом із операціями

$(r_{1},s_{1})+(r_{2},s_{2})=(r_{1}+r_{2},s_{1}+s_{2})$ та

$(r_{1},s_{1})\cdot (r_{2},s_{2})=(r_{1}\cdot r_{2},s_{1}\cdot s_{2})$.

• Якщо дано кільце $R$ та ідеал $I$ кільця $R$, кільце відношень (або фактор-кільце) $R/I$ є множиною суміжних класів $I$ разом з операціями

$(a+I)+(b+I)=(a+b)+I$ та

$(a+I)\cdot (b+I)=(a\cdot b)+I$.

• Оскільки будь-яке кільце є одночасно лівим та правим модулем над собою, можна сконструювати тензорний добуток $R$ над кільцем $S$ із іншим кільцем $T$ і отримати інше кільце, якщо $S$ є центральним підкільцем $R$ та $T$.
• До будь-якого кільця $R$, можна приєднати змінну $x$ і отримати $R[x]$ — кільце многочленів над $R$. Послідовно приєднуючі знінні, можна отримати $R[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]$ — кільце многочленів від $n$ змінних над кільцем $R$.

Див. також

• Напівкільце
• Поле (алгебра)
• Банахова алгебра
• Групове кільце

Джерела

• Бурбаки Н. Алгебра ч.3 Модули, кольца, формы. — М. : Наука, 1966. — С. 555. — (Елементи математики)(рос.)
• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

• Бондаренко Є.В. (2012). Теорія кілець: навчальний посібник (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 64. (укр.)