Теорія зображень

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Квантова механіка

Принцип невизначеності
Вступ[en] · Історія[en]
Математичні основи[en]

Теорія зображень[1] — розділ квантової механіки, в якому розглядаються різні форми подання основних квантовомеханічних рівнянь.

Теорія зображень розроблена Полем Діраком. При розв'язку квантово-механічних задач використовуються різні зображення, виходячи з міркувань зручності. Серед найвідоміших із них: координатне зображення, імпульсне зображення, енергетичне зображення, картина Шредінгера, картина Гейзенберга, картина взаємодії, зображення чисел заповнення тощо.

Базиси у гільбертовому просторі станів[ред. | ред. код]

Квантова механіка виходить з того, що фізична система описується вектором у певному гільбертовому просторі, який називають вектором стану. Зручно працювати не з самими векторами, а з розкладом цих векторів у певному базисі. Оскільки вибір базису в гільбертовому просторі неоднозначний, то й розкладів вектора стану може бути як завгодно багато. Такі розклади називаються зображеннями.

Базис у Гільбертовому просторі зручно будувати з власних векторів певного оператора. В залежності від вибраного оператора розрізняють різні зображення.

Координатне зображення[ред. | ред. код]

В координатному зображенні фізична система описується хвильовою функцією, залежною від координат частинок. Оператори, які відповідають вимірюваним фізичним величинам також залежать від координат частинок. Середнє значення вимірюваної величини A визначається як

,

де  — оператор величини A,  — хвильова функція, а  — узагальнене позначення для координато всіх частинок фізичної системи.

Еволюція хвильової функції описується рівнянням Шредінгера

Імпульсне зображення[ред. | ред. код]

Базис у гільбертовому просторі станів можна скласти з власних функцій оператора імпульсу . При цьому отримують зображення, яке називають імпульсним. Воно зручне для вивчення задач розсіювання.

Власні функції оператора імпульсу суть монохроматичні плоскі хвилі із хвильовим вектором , який можна вибрати як квантове число. Позначивши ці власні функції (дивіться Бра-кет нотація), причому

де  — дельта-функція Дірака, координатну хвильову функцію можна розкласти в базисі, утвореному цими фунціями

Функція описує квантову систему в імпульсному зображенні.

Середнє значення фізичної величини визначається, як

Функція двох змінних задає квантовомеханічний оператор в імпульсному зображенні.

Енергетичне зображення[ред. | ред. код]

В енергетичному зображенні базис гільбертового простору станів вибирається з власних функцій оператора енергії — гамільтоніана. Якщо n — квантове число, що характеризує стани з енергією , то для функції існує розклад

.

Коефіцієнти розкладу утворюють вектор у гільбертовому просторі. У випадку дискретного спектру енергій його можна подати у вигляді нескінченного стовпчика. У випадку неперервного спектру — це функція, аргументами якої є енергія та інші квантові числа.

Оператором вимірваної величини є матриця, елементи якої визначаються з рівняння

Зображення чисел заповнення[ред. | ред. код]

Розглядаючи стани в просторі Фока, можна побудувати базис таким чином, щоб окрім інших квантових чисел, таких як хвильовий вектор, спін тощо, базисні хвильові функції були власними функціями оператора числа частинок

,

де і  — оператори народження і знищення, відповідно. Тоді позначення

має прозоре фізичне значення — чило частинок у даному квантовому стані. Для бозонів n може приймати довільні цілі невід'ємні значення, для ферміонів n може бути нулем, або одиницею.

Таке зображення називається зображенням чисел заповнення.


Примітки[ред. | ред. код]

  1. На цій сторінці використовується термінологія, наведена в підручнику «Основи квантової механіки» І. Р. Юхновського. Слово зображення (англ. representation) можна перекласти також, як представлення або подання.

Література[ред. | ред. код]

  • Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
  • Давидов О. С. Квантова механіка. — К. : Академперіодика, 2012. — 706 с.
  • Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.
  • Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М. : Наука, 1983. — 664 с.
  • Мессиа А. Квантовая механика. — М. : Наука, 1978. — Т. 1. — 480 с.