Методи Рунге — Кутти — важлива група чисельних методів розв’язування (систем) звичайних диференціальних рівнянь. Названі на честь німецьких математиків Карла Рунге і Мартіна Кутти, які відкрили ці методи.
Класичний метод Рунге — Кутти 4-го порядку[ред. | ред. код]
Метод Рунге — Кутти 4-го порядку настільки широко розповсюджений, що його часто називають просто методом Рунге — Кутти або RK4.
Розглянемо задачу Коші для системи диференціальних рівнянь довільного порядку, що записується у векторній формі як
.
Тоді значення невідомої функції в точці
обчислюється відносно значення в попередній точці
за формулою:
,

де
— крок інтегрування, а коефіцієнти
розраховуються таким чином:




Це метод 4-го порядку, тобто похибка на кожному кроці становить
, а сумарна похибка на кінцевому інтервалі інтегрування є величиною
.
Прямі методи Рунге — Кутти[ред. | ред. код]
Група прямих методів Рунге — Кутти є узагальненням методу Рунге — Кутти 4-го порядку. Наближення задається формулами

де




Конкретний метод визначається числом
і коефіцієнтами
і
. Ці коефіцієнти часто впорядковують в таблицю
|
0
|
|
 |
|
|
 |
 |
|
|
 |
 |
|
|
|
|
|
|
|
 |
|
|
|
 |
 |
 |
 |
|
Для коефіцієнтів методу Рунге — Кутти мають справджуватись умови
для
.
Якщо ми хочемо, щоб метод мав порядок
, то варто так само забезпечити умову
де
— наближення, отримане за методом Рунге — Кутти. Після багаторазового диференціювання ця умова перетвориться в систему поліноміальних рівнянь, розв'язки якої є коефіцієнтами методу.
Прямі методи розв'язку жорстких диференціальних рівнянь та їх систем неефективні внаслідок різкого збільшення кількості кроків обчислень (при зменшенні кроку інтегрування
) чи зростання похибки при недостатньо малому кроці
.
Нехай похибка має порядок
. Наближене значення
обчислене у точці
із величиною кроку
, позначається
Тоді у точці
тобто
та, відповідно,
Помилка при кроці
виражається через наближені значення при кроках
та
Багатокрокові методи використовують для обчислення наступного значення
лише інформацію з напівінтервалу
. Багатокрокові методи базуються на заміні диференціального рівняння
за сталого кроку
різницевим рівнянням порядку
- задані значення.
Кожний спосіб такого типу визначається поліномами
Якщо степінь
менше степені
то говорять про явний (або відчинений) метод, якщо степені рівні, то про неявний (зачинений).
Приклад розв'язання в середовищі MATLAB[ред. | ред. код]
Розв'язання систем диференціальних рівнянь методом Рунге-Кутти є одним з найбільш поширених числових методів розв'язання в техніці. В середовищі MATLAB/Octave (досить поширена і зручна мова програмування для технічних обчислень) реалізований один з його різновидів — метод Дорманда-Принса.
- William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (Розділи 16.1 і 16.2.).