Рівняння в повних диференціалах

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Рівняння в повних диференціалах (англ. exact differential equation, total differential equation) — різновид звичайного диференціального рівняння, який широко використовується в фізиці і інженерії.

Визначення[ред. | ред. код]

Маємо однозв'язну область і відкриту підмножину D в R2 і дві неперервні в D функції I та J, тоді неявне звичайне диференціальне рівняння першого порядку у вигляді

називають Рівняння в повних диференціалах, якщо існує неперервно-диференційовна функція F, яку звуть функція потенціалу, така що

і

Назва «рівняння в повних диференціалах» стосується повної похідної функції. Для функції , повна похідна щодо така

Приклад[ред. | ред. код]

Функція

є функцією потенціалу для диференціального рівняння

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle xx' + yy' = 0.\,}

Існування функції потенціалу[ред. | ред. код]

У фізичних застосуваннях функції I та J зазвичай не тільки неперервні, але й неперервно-диференційовні. Теорема Шварца надає нам необхідний критерій існування функції потенціалу. Для диференціальних рівнянь на однозв'язній множині критерій також достатній і ми отримуємо така теорему:

Диференціальне рівняння у формі:

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle I(x, y)\, \mathrm{d}x + J(x, y)\, \mathrm{d}y = 0, \,\!}

де I та J неперервно-диференційовні на однозв'язній і відкритій підмножині D в R2, тоді функція потенціалу F існує тоді і тільки тоді

Посилання[ред. | ред. код]