Рівняння в повних диференціалах
Ця стаття не містить посилань на джерела. (листопад 2020) |
Рівняння в повних диференціалах (англ. exact differential equation, total differential equation) — різновид звичайного диференціального рівняння, який широко використовується в фізиці і інженерії.
Визначення[ред. | ред. код]
Маємо однозв'язну область і відкриту підмножину D в R2 і дві неперервні в D функції I та J, тоді неявне звичайне диференціальне рівняння першого порядку у вигляді
називають Рівняння в повних диференціалах, якщо існує неперервно-диференційовна функція F, яку звуть функція потенціалу, така що
і
Назва «рівняння в повних диференціалах» стосується повної похідної функції. Для функції , повна похідна щодо така
Приклад[ред. | ред. код]
Функція отримується з:
І є функцією потенціалу для диференціального рівняння:
Існування функції потенціалу[ред. | ред. код]
У фізичних застосуваннях функції I та J зазвичай не тільки неперервні, але й неперервно-диференційовні. Теорема Шварца надає нам необхідний критерій існування функції потенціалу. Для диференціальних рівнянь на однозв'язній множині критерій також достатній і ми отримуємо така теорему: Диференціальне рівняння у формі:
де I та J неперервно-диференційовні на однозв'язній і відкритій підмножині D в R2, тоді функція потенціалу F існує тоді і тільки тоді
Посилання[ред. | ред. код]
- Рівняння в повних диференціалах на math24.net (англ.)