Метод варіації параметрів

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Метод варіації параметрів або метод варіації довільної сталої (англ. variation of parameters, variation of constants) — це загальний метод для розв'язання неоднорідних лінійних звичайних диференціальних рівнянь. А саме знаходження часткового розв'язку неоднорідного рівняння, знаючи розв'язок відповідного однорідного рівняння.

Для неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь першого порядку зазвичай можливо з набагато меншими зусиллями знайти розв'язки, використовуючи інтегрувальний множник або невизначені коефіцієнти, хоча ці методи послуговуються евристиками, що вимагає вгадування і не спрацьовує для всіх неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь.

Варіацію параметрів можна також поширити і на диференціальні рівняння з частинними похідними, конкретно на неоднорідні задачі для рівнянь лінійної еволюції як-от рівняння теплопровідності, хвильове рівняння і рівняння вібрування пластини. У цих умовах, метод відомий як принцип Дюамеля.


Лінійне диференціальне рівняння першого порядку[ред.ред. код]

Розв'яжемо відповідне ЛОР і запишемо його загальний розв'язок.

.

Однорідне рівняння можна розв'язати довільним методом, наприклад методом розділення змінних:

Загальний розв'язок:

Тепер розв'яжемо неоднорідне рівняння:

Використовуючи метод варіації довільних сталих, ми отримаємо частковий розв'язок із загального:

Підставляючи частковий розв'язок в нелінійне рівняння ми можемо знайти C(x):

Тоді частковий розв'язок:

І загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівняння є сумою загального розв'язку відповідного однорідного рівняння та деякого частинного розв'язку лінійного неоднорідного рівняння:

Звичайне диференціальне рівняння другого порядку[ред.ред. код]

Припустимо, що нам відомі лінійно незалежні розв'язки і для відповідного однорідного рівняння

тоді ми шукаємо і такі, що

Тепер накладемо таку додаткову умову:

отже

Підставимо і в початкове рівняння, у результаті отримуємо

що спрощується до

Разом із додатковою умовою маємо систему

Для розв'язання щодо і використаємо правило Крамера, отримуємо

де

це визначник Вронського, який є функцією тільки від отже ми можемо проінтегрувати і отримати

довільні сталі інтегрування можна опустити, оскільки нам достатньо одного часткового розв'язку. Тепер, отримані і можна підставити для отримання часткового розв'язку

Посилання[ред.ред. код]

Weisstein, Eric W. Метод варіації параметрів(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.