Метод варіації параметрів

Диференціальні рівняння
Види рівнянь Звичайні З частинними похідними Лінійні Нелінійні Автономні Алгебраїчні Диференціально-алгебраїчні Інтегро-диференціальні Однорідні Рівняння в повних диференціалах Стохастичні З запізненням
Загальні теми Фазовий простір Інтегральна крива Теорема Пікара — Лінделефа Фазовий портрет Диференціальний оператор Визначник Вронського Стійкість Чисельне інтегрування Фундаментальна матриця
Методи розв'язання Метод характеристик Розділення змінних Знижування порядку Інтегрувальний множник Метод невизначених коефіцієнтів Метод варіації параметрів Метод Ейлера Метод Рунге — Кутти Метод Адамса Метод скінченних різниць Метод Кранка-Ніколсон Метод скінченних елементів Метод Гальоркіна Інтегральне перетворення Теорія збурень
Відомі рівняння Рівняння Лотки-Вольтерри Дивний атрактор Лоренца Рівняння Дуффінга Осцилятор Ван дер Поля Система Хенона-Гейлса Рівняння Ріккаті Хвильове рівняння Рівняння Лапласа Рівняння дифузії Рівняння Бюргерса Рівняння Нав'є — Стокса Рівняння Гамільтона — Якобі Рівняння Коші-Ейлера Рівняння Бернуллі Модель Годжкіна — Гакслі Схема Чуа Атрактор Рьослера Модель Курамото
Математики Ісаак Ньютон Ґотфрід Лейбніц Леонард Ейлер П'єр-Симон Лаплас Жозеф Ліувілль Жозеф-Луї Лагранж Анрі Пуанкаре Рудольф Ліпшиц Олександр Ляпунов Еміль Пікар Карл Рунге Джон Кранк

Метод варіації параметрів або метод варіації довільної сталої (англ. variation of parameters, variation of constants) — це загальний метод для розв'язання неоднорідних лінійних звичайних диференціальних рівнянь. А саме знаходження часткового розв'язку неоднорідного рівняння, знаючи розв'язок відповідного однорідного рівняння.

Для неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь першого порядку зазвичай можливо з набагато меншими зусиллями знайти розв'язки, використовуючи інтегрувальний множник або невизначені коефіцієнти, хоча ці методи послуговуються евристиками, що вимагає вгадування і не спрацьовує для всіх неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь.

Варіацію параметрів можна також поширити і на диференціальні рівняння з частинними похідними, конкретно на неоднорідні задачі для рівнянь лінійної еволюції як-от рівняння теплопровідності, хвильове рівняння і рівняння вібрування пластини. У цих умовах, метод відомий як принцип Дюамеля.

Лінійне диференціальне рівняння першого порядку

$y'+p(x)y=q(x)$

Розв'яжемо відповідне ЛОР і запишемо його загальний розв'язок.

$y'+p(x)y=0$.

Однорідне рівняння можна розв'язати довільним методом, наприклад методом розділення змінних:

${\frac {d}{dx}}y+p(x)y=0$

${\frac {dy}{dx}}=-p(x)y$

${dy \over y}=-{p(x)dx},$

$\int {\frac {1}{y}}\,dy=-\int p(x)\,dx$

$ln{(y)}=-\int p(x)\,dx+C$

$y=e^{-\int p(x)\,dx+C}=Ce^{-\int p(x)\,dx}$

Загальний розв'язок:

$y_{3}=Ce^{-\int p(x)\,dx}$

Тепер розв'яжемо неоднорідне рівняння:

$y'+p(x)y=q(x)$

Використовуючи метод варіації довільних сталих, ми отримаємо частковий розв'язок із загального:

$y_{4acm}=C(x)e^{-\int p(x)\,dx}$

Підставляючи частковий розв'язок в нелінійне рівняння ми можемо знайти C(x):

$C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}-C(x)p(x)e^{-\int p(x)\,dx}+p(x)C(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x)$

$C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x)$

$C'(x)=q(x)e^{\int p(x)\,dx}$

$C(x)=\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx+C$

Тоді частковий розв'язок:

$y_{4acm}=Ce^{-\int p(x)\,dx}\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx$

І загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівняння є сумою загального розв'язку відповідного однорідного рівняння та деякого частинного розв'язку лінійного неоднорідного рівняння:

$y=y_{3}+y_{4acm}$

$y=Ce^{-\int p(x)\,dx}\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx+Ce^{-\int p(x)\,dx}$

Звичайне диференціальне рівняння другого порядку

$y''+p(x)y'+q(x)y=g(x).$

Припустимо, що нам відомі лінійно незалежні розв'язки $y_{1}(x)$ і $y_{2}(x)$ для відповідного однорідного рівняння

$y''+p(x)y'+q(x)y=0,$

тоді ми шукаємо $v_{1}(x)$ і $v_{2}(x)$ такі, що

$y^{*}=v_{1}y_{1}+v_{2}y_{2}$

$y^{'*}=(v_{1}^{'}y_{1}+v_{2}^{'}y_{2})+(v_{1}y_{1}^{'}+v_{2}y_{2}^{'}).$

Тепер накладемо таку додаткову умову:

$v_{1}^{'}y_{1}+v_{2}^{'}y_{2}=0$

отже

$y^{'*}=v_{1}y_{1}^{'}+v_{2}y_{2}^{'}$

$y^{''*}=v_{1}^{'}y_{1}^{'}+v_{2}^{'}y_{2}^{'}+v_{1}y_{1}^{''}+v_{2}y_{2}^{''}$

Підставимо $y^{*},y^{'*}$ і $y^{''*}$ в початкове рівняння, у результаті отримуємо

$v_{1}(y_{1}^{''}+py_{1}^{'}+qy_{1})+v_{2}(y_{2}^{''}+py_{2}^{'}+qy_{2})+v_{1}^{'}y_{1}^{'}+v_{2}^{'}y_{2}^{'}=g(x),$

що спрощується до

$v_{1}^{'}y_{1}^{'}+v_{2}^{'}y_{2}^{'}=g(x).$

Разом із додатковою умовою маємо систему

$\left\{{\begin{matrix}v_{1}^{'}y_{1}+v_{2}^{'}y_{2}=0\\v_{1}^{'}y_{1}^{'}+v_{2}^{'}y_{2}^{'}=g(x)\end{matrix}}\right.\ .$

Для розв'язання щодо $v_{1}^{'}$ і $v_{1}^{'}$ використаємо правило Крамера, отримуємо

$v_{1}^{'}={\begin{vmatrix}0&y_{2}\\g(x)&y_{2}^{'}\end{vmatrix}}/{\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\y_{1}^{'}&y_{2}^{'}\end{vmatrix}}=-{y_{2}\ g(x) \over W(x)}$

$v_{2}^{'}={\begin{vmatrix}y_{1}&0\\y_{1}^{'}&g(x)\end{vmatrix}}/{\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\y_{1}^{'}&y_{2}^{'}\end{vmatrix}}={y_{1}\ g(x) \over W(x)},$

де $W(y_{1},y_{2})=W(x)=y_{1}\ y_{2}^{'}-y_{2}\ y_{1}^{'}$

це визначник Вронського, який є функцією тільки від $x,$ отже ми можемо проінтегрувати і отримати

$v_{1}\equiv -\int {y_{2}\ g(x) \over W(x)}\,dx$

$v_{2}\equiv \int {y_{1}\ g(x) \over W(x)}\,dx,$

довільні сталі інтегрування можна опустити, оскільки нам достатньо одного часткового розв'язку. Тепер, отримані $v_{1}(x)$ і $v_{2}(x),$ можна підставити для отримання часткового розв'язку

$y^{*}=v_{1}y_{1}+v_{2}y_{2}.$

Посилання

Weisstein, Eric W. Метод варіації параметрів(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.