Метод характеристик

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Метод характеристик (англ. Method of characteristics) - метод розв'язування диференціальних рівнянь в частинних похідних. Зазвичай застосовується до рівнянь у частинних похідних першого порядку, проте може бути застосованим і до гіперболічних рівнянь вищого порядку. Метод полягає у приведенні рівняння у частинних похідних до сімейства звичайних диференціальних рівнянь.


Характеристики рівняння першого порядку[ред.ред. код]

Для розв'язання рівняння першого порядку, метод полягає у знаходженні кривих (що зазвичай називаються характеристиками), вздовж яких рівняння в частинних похідних перетворюється у звичайне диференціальне рівняння. Як тільки такі звичайні диференціальні рівняння знайдено, їх можна розв'язати вздовж характеристик і потім знайдений розв'язок перетворити у розв'язок первинного рівняння в частинних похідних.

Розглянемо наступне квазілінійне рівняння на невідому функцію u(x,y)

a(x,y,u) \frac{\partial u}{\partial x}+b(x,y,u) \frac{\partial u}{\partial y}=c(x,y,u). (1)

Припустимо, що функція on u відомо, і розглянемо поверхню z = u(x,y) в R3. Нормаль до цієї поверхні задається виразом

(u_x(x,y),u_y(x,y),-1).\,

В результаті одержимо [1], що рівняння (1) еквівалентне геометричному твердженню, що векторне поле

(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))\,

є дотичним до поверхні z = u(x,y) в кожній точці.

Рівняння характеристик можуть бути записані інваріантним чином [2]

\frac{dx}{a(x,y,z)} = \frac{dy}{b(x,y,z)} = \frac{dz}{c(x,y,z)},

або ж, якщо задано певну параметризацію t характеристик, тоді ці рівняння можна записати як систему звичайних диференціальних рівнянь для x(t), y(t), z(t):


\begin{array}{rcl}
\frac{dx}{dt}&=&a(x,y,z)\\
\frac{dy}{dt}&=&b(x,y,z)\\
\frac{dz}{dt}&=&c(x,y,z).
\end{array}

Приклад[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  1. John 1991
  2. Delgado 1997