Метод характеристик

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Метод характеристик (англ. Method of characteristics) - метод розв'язування диференціальних рівнянь в частинних похідних. Зазвичай застосовується до рівнянь у частинних похідних першого порядку, проте може бути застосованим і до гіперболічних рівнянь вищого порядку. Метод полягає у приведенні рівняння у частинних похідних до сімейства звичайних диференціальних рівнянь.


Характеристики рівняння першого порядку[ред.ред. код]

Для розв'язання рівняння першого порядку, метод полягає у знаходженні кривих (що зазвичай називаються характеристиками), вздовж яких рівняння в частинних похідних перетворюється у звичайне диференціальне рівняння. Як тільки такі звичайні диференціальні рівняння знайдено, їх можна розв'язати вздовж характеристик і потім знайдений розв'язок перетворити у розв'язок первинного рівняння в частинних похідних.

Розглянемо наступне квазілінійне рівняння на невідому функцію

Припустимо, що функція on u відомо, і розглянемо поверхню z = u(x,y) в R3. Нормаль до цієї поверхні задається виразом

В результаті одержимо [1], що рівняння (1) еквівалентне геометричному твердженню, що векторне поле

є дотичним до поверхні z = u(x,y) в кожній точці.

Рівняння характеристик можуть бути записані інваріантним чином [2]

або ж, якщо задано певну параметризацію t характеристик, тоді ці рівняння можна записати як систему звичайних диференціальних рівнянь для x(t), y(t), z(t):

Приклад[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  1. John 1991
  2. Delgado 1997