Метод Кранка-Ніколсон

Диференціальні рівняння
Види рівнянь Звичайні З частинними похідними Лінійні Нелінійні Автономні Алгебраїчні Диференціально-алгебраїчні Інтегро-диференціальні Однорідні Рівняння в повних диференціалах Стохастичні З запізненням
Загальні теми Фазовий простір Інтегральна крива Теорема Пікара — Лінделефа Фазовий портрет Диференціальний оператор Визначник Вронського Стійкість Чисельне інтегрування Фундаментальна матриця
Методи розв'язання Метод характеристик Розділення змінних Знижування порядку Інтегрувальний множник Метод невизначених коефіцієнтів Метод варіації параметрів Метод Ейлера Метод Рунге — Кутти Метод Адамса Метод скінченних різниць Метод Кранка-Ніколсон Метод скінченних елементів Метод Гальоркіна Інтегральне перетворення Теорія збурень
Відомі рівняння Рівняння Лотки-Вольтерри Дивний атрактор Лоренца Рівняння Дуффінга Осцилятор Ван дер Поля Система Хенона-Гейлса Рівняння Ріккаті Хвильове рівняння Рівняння Лапласа Рівняння дифузії Рівняння Бюргерса Рівняння Нав'є — Стокса Рівняння Гамільтона — Якобі Рівняння Коші-Ейлера Рівняння Бернуллі Модель Годжкіна — Гакслі Схема Чуа Атрактор Рьослера Модель Курамото
Математики Ісаак Ньютон Ґотфрід Лейбніц Леонард Ейлер П'єр-Симон Лаплас Жозеф Ліувілль Жозеф-Луї Лагранж Анрі Пуанкаре Рудольф Ліпшиц Олександр Ляпунов Еміль Пікар Карл Рунге Джон Кранк

Метод Кранка-Ніколсон — це спеціальний чисельний метод розв'язку диференціальних рівнянь з частинними похідними в обчислювальній математиці, за допомогою особливої схеми методу скінченних різниць, зокрема для рівняння теплопровідності та дифузії. Це неявний метод 2 порядку і є чисельно стабільним щодо кроку різницевої сітки. Метод винайшли в середині 20-го століття англійські вчені Джон Кранк та Филліс Ніколсон.

Для рівняння теплопровідності, дифузії і багатьох інших схожих рівнянь можна довести, що метод Кранка-Ніколсон є безумовно чисельно стабільним. Проте, при використанні великого кроку сітки (коли $\Delta t/\Delta x^{2}>0.5$) розв'язок може містити сильні коливання. У випадку, коли крок різницевої сітки змінити неможливо, при нестабільності розв'язку рекомендується використовувати менш точний, але також чисельно стабільний неявний зворотній метод Ейлера.

Опис методу

Різницева схема сітки в методі Кранка-Ніколсон для одновимірної задачі

Неявна схема, яку винайшли Джон Кранк та Филліс Ніколсон ґрунтується на чисельному наближенню параболічного диференціального рівняння другого порядку. Як приклад візьмемо одновимірне рівняння теплопровідності

$u_{t}(x,t)=c^{2}u_{xx}(x,t)$

для $0\leq x<a$ та $0<t<b$ з початковою умовою $u(x,0)=f(x)$ та крайовими умовами $u(0,t)=g_{1}(t)$ ; $u(a,t)=g_{2}(t)$ в точці $(x,t+\Delta t/2)$ котра знаходиться між рядами різницевої сітки з кроком $h=\Delta x$ та $k=\Delta t$.

Тоді для похідних отримаємо

$u_{t}(x,t+k/2)={\frac {u(x,t+k)-u(x,t)}{k}}+O(k^{2})$

$u_{xx}(x,t+k/2)={\frac {1}{2h^{2}}}\left(u(x-h,t+k)-2u(x,t+k)+u(x+h,t+k)+u(x-h,t)-2u(x,t)+u(x+h,t)\right)+O(h^{2})$

Тобто використовується середнє значення наближень похідних $u_{xx}(t,k)$ та $u_{xx}(x,t+k)$ для наближення $u_{xx}(x,t+k/2)$

Підставляючи ці вирази в рівняння теплопровідності (і спрощуючи запис $u(x_{j},t_{n})\rightarrow u_{j,n}$ ) отримаємо

${\frac {u_{j,n+1}-u_{j,n}}{k}}=c^{2}{\frac {u_{j-1,n+1}-2u_{j,n+1}+u_{j+1,n+1}+u_{j-1,n}-2u_{j,n}+u_{j+1,n}}{2h^{2}}}$

Використовуємо для зручності $r=c^{2}k/h^{2}$ і переносимо всі значення функції з часом $t+k$ в ліву частину рівняння.

Після впорядкування членів рівняння отримаємо неявну різницеву схему для $j=2,3,...,N-1$

$-r\,u_{j-1,n+1}+(2+2r)u_{j,n+1}-r\,u_{j+1,n+1}=(2-2r)u_{j,n}+r(u_{j-1,n}+u_{j+1,n})$

Рівняння у такій формі має вигляд тридіагональної системи алгебраїчних рівнянь

$AX=B$

і розв'язується звичайними прямими чи ітераційними методами лінійної алгебри.

В схемі Кранка-Ніколсон використовується шість точок основної різницевої сітки для наближення проміжної точки $u_{xx}(x,t+k/2)$, на якій базуються всі чисельні наближення.