Метод Кранка-Ніколсон

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Метод Кранка-Ніколсон — це спеціальний чисельний метод розв'язку диференціальних рівнянь з частинними похідними в обчислювальній математиці, за допомогою особливої схеми методу скінченних різниць, зокрема для рівняння теплопровідності та дифузії. Це неявний метод 2 порядку і є чисельно стабільним щодо кроку різницевої сітки. Метод винайшли в середині 20-го століття англійські вчені Джон Кранк та Филліс Ніколсон.

Для рівняння теплопровідності, дифузії і багатьох інших схожих рівнянь можна довести, що метод Кранка-Ніколсон є безумовно чисельно стабільним. Проте, при використанні великого кроку сітки (коли ) розв'язок може містити сильні коливання. У випадку, коли крок різницевої сітки змінити неможливо, при нестабільності розв'язку рекомендується використовувати менш точний, але також чисельно стабільний неявний зворотній метод Ейлера.

Опис методу[ред.ред. код]

Різницева схема сітки в методі Кранка-Ніколсон для одновимірної задачі

Неявна схема, яку винайшли Джон Кранк та Филліс Ніколсон ґрунтується на чисельному наближенню параболічного диференціального рівняння другого порядку. Як приклад візьмемо одновимірне рівняння теплопровідності

для та з початковою умовою та крайовими умовами  ; в точці котра знаходиться між рядами різницевої сітки з кроком та .

Тоді для похідних отримаємо

Тобто використовується середнє значення наближень похідних та для наближення

Підставляючи ці вирази в рівняння теплопровідності (і спрощуючи запис ) отримаємо

Використовуємо для зручності і переносимо всі значення функції з часом в ліву частину рівняння.

Після впорядкування членів рівняння отримаємо неявну різницеву схему для

Рівняння у такій формі має вигляд тридіагональної системи алгебраїчних рівнянь

і розв'язується звичайними прямими чи ітераційними методами лінійної алгебри.

В схемі Кранка-Ніколсон використовується шість точок основної різницевої сітки для наближення проміжної точки , на якій базуються всі чисельні наближення.