Знижування порядку

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Знижування порядку — техніка в математиці призначена для розв'язання лінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку. Її використовують коли відомий один розв'язок і необхідно знайти другий лінійно незалежний розв'язок . Цей метод також застосовують для рівнянь n-го порядку. В цьому випадку анзац породить рівняння (n-1)-го порядку для .

Звичайні диференціальні рівняння другого порядку[ред.ред. код]

Приклад[ред.ред. код]

Розглянемо загальне однорідне другого порядку з коефіцієнтами-сталими ЗДР

де є дійсними ненульовими коефіцієнтами, також припустимо, що його характеристичним рівняння

має повторювані корені(тобто дискримінант, дорівнює нулю). Отже маємо

Відтак нашим розв'язком для ЗДР є

Для віднайдення другого розв'язку ми робимо припущення, що

де це невідома функція, яку ми маємо визначити. З того, що повинно задовольняти оригінальному ЗДР, ми підставляємо його назад, щоб отримати

Перелаштувавши це рівняння в термінах похідних від отримуємо

Оскільки ми знаємо, що є розв'язком початкової проблеми, коефіцієнт останнього доданку дорівнює нулю. Далі більше, підставив в коефіцієнт другого доданку маємо

Отже ми залишилися з

З того, що ми припустили, що і є показниковою функцією і тому ніколи не стає нулем ми просто маємо, що

Інтегруємо це двічі, щоб отримати

де є сталими інтегрування. Тепер ми можемо наш другий розв'язок як

З того, що другий доданок у є скалярним кратним першого розв'язку (і отже лінійно залежним) ми можемо опустити його і отримати кінцевий розв'язок

Насамкінець, ми можемо довести, що другий розв'язок , який ми знайшли цим способом, є лінійно незалежним із першим розв'язком через визначник Вронського

Отже є другим лінійно незалежним розв'язком, який ми й шукали.

Загальний метод[ред.ред. код]

Нехай задане неоднорідне лінійне диференціальне рівняння

і один розв'язок однорідного рівняння [], знайдемо розв'язок повного неоднорідного рівняння у формі:

де є довільною функцією. Отже

і

Якщо підставити ці результати для , і в диференціальне рівняння, тоді

З того, що є розв'язком початкового однорідного диференціального рівняння, , тобто ми можемо зменшити до

це рівняння є рівнянням першого порядку щодо (знижування порядку). Ділимо на , отримуємо

.

Інтегрувальний множник: .

Множачи диференціальне рівняння на інтегрувальний множник , рівняння для можна звести до

.

Після інтегрування останнього рівняння, ми знаходимо , яка містить одну сталу інтегрування. тоді інтегруємо для віднайдення повного розв'язку початкового неоднорідного рівняння другого порядку, з двома сталими інтегрування як і повинно бути:

.

Посилання[ред.ред. код]

Weisstein, Eric W. Другий розв'язок звичайного диференційного рівняння другого порядку(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.