Метод Адамса

Диференціальні рівняння
Види рівнянь Звичайні З частинними похідними Лінійні Нелінійні Автономні Алгебраїчні Диференціально-алгебраїчні Інтегро-диференціальні Однорідні Рівняння в повних диференціалах Стохастичні З запізненням
Загальні теми Фазовий простір Інтегральна крива Теорема Пікара — Лінделефа Фазовий портрет Диференціальний оператор Визначник Вронського Стійкість Чисельне інтегрування Фундаментальна матриця
Методи розв'язання Метод характеристик Розділення змінних Знижування порядку Інтегрувальний множник Метод невизначених коефіцієнтів Метод варіації параметрів Метод Ейлера Метод Рунге — Кутти Метод Адамса Метод скінченних різниць Метод Кранка-Ніколсон Метод скінченних елементів Метод Гальоркіна Інтегральне перетворення Теорія збурень
Відомі рівняння Рівняння Лотки-Вольтерри Дивний атрактор Лоренца Рівняння Дуффінга Осцилятор Ван дер Поля Система Хенона-Гейлса Рівняння Ріккаті Хвильове рівняння Рівняння Лапласа Рівняння дифузії Рівняння Бюргерса Рівняння Нав'є — Стокса Рівняння Гамільтона — Якобі Рівняння Коші-Ейлера Рівняння Бернуллі Модель Годжкіна — Гакслі Схема Чуа Атрактор Рьослера Модель Курамото
Математики Ісаак Ньютон Ґотфрід Лейбніц Леонард Ейлер П'єр-Симон Лаплас Жозеф Ліувілль Жозеф-Луї Лагранж Анрі Пуанкаре Рудольф Ліпшиц Олександр Ляпунов Еміль Пікар Карл Рунге Джон Кранк

Метод Адамса — група методів чисельного інтегрування звичайних диференційних рівнянь, які дозволяють обчислювати таблицю наближених значень розв'язку за даними в початкових точках.

В однокрокових методах для обчислення значення у_n+1 використовується значения тільки у_n і для підвищення точності при фіксованому кроці необхідно проводити обчислення великої кількості допоміжних величин. Це є причиною того, що для багатьох задач застосування формул Рунге-Кутти неможливе внаслідок надто великого обсягу обчислень. Тому часто раціональніше переходити до багатокрокових методів, які дають можливість, використовуючи значення f(x_i,y_i), що обчислені на попередніх кроках, отримати прийнятну точність. Серед k-крокових методів найчастіше використовують методи інтегрування на сітці з постійним кроком, які називаються скінченно-різницевими схемами. Розглянемо загальне диференційне рівняння (1)
$\int \limits _{D}f({\vec {x}})d{\vec {x}}\approx \sum _{i=1}^{N}\omega _{i}f({\vec {x}}^{i})$

Припустимо, що вже відомі розв'язки на множині значень Х_i (і=0,1,. . .,п). Тобто можна записати рівняння (2):

$y(x_{n+1})=y_{n}+\int _{x_{n}}^{x_{n+1}}f(t,y(t))dt$

При обчисленні інтеграла в правій частині цього виразу підінтегральну функцію замінимо на інтерполяційний многочлен Ньютона для інтерполяції назад $P_{n-1}(x)=f(x_{n})+f(x_{n-1};x_{n})(x-x_{n})+...+f(x_{1};...;x_{n})(x-x_{n})...(x-x_{1})$ на сітці х_п, x_n-1, x_n-2 ,...

При цьому $f(x,y)\equiv f(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{n})+a_{2}(x-x_{n})(x-x_{n-1})+...+a_{m}(x-x_{n})...(x-x_{n-m+1})+R_{m}(x)$ де $a_{k}={\frac {\nabla ^{k}f_{n}}{k!h^{k}}}$ і R_m(x) - похибка інтерполяції, яка і буде визначати похибку отриманих нижче формул. Нагадаємо, що $\nabla ^{k}f_{n}$ — скінченні ліві різниці k-го порядку функції f(x,y) в точці х_n. Підставивши в (2) праву частину (1) і знехтувавши оцінкою похибки, отримаємо

$\int _{x_{n}}^{x_{n+1}}f(t,y(t))dt\approx \sum _{k=0}^{m}{\frac {\nabla ^{k}f_{n}}{k!h^{k}}}\int _{x_{n}}^{x_{n+1}}(t-x_{n})...(t-x_{n-k+1})dt$

Обчислимо декілька перших інтегралів:

$k=0,\int _{x_{n}}^{x_{n+1}}dt=h$

$k=1,\int _{x_{n}}^{x_{n+1}}(t-x_{n})dt={\frac {h^{2}}{2}}$

$k=2,\int _{x_{n}}^{x_{n+1}}(t-x_{n})(t-x_{n-1})dt={\frac {5}{6}}h^{3}$

У результаті отримаємо формулу Адамса

$y_{n+1}=y_{n}+h[f_{n}+{\frac {1}{2}}\nabla f_{n}+{\frac {5}{12}}\nabla ^{2}f_{n}+{\frac {3}{8}}\nabla ^{3}f_{n}+{\frac {251}{720}}\nabla ^{4}f_{n}+...]$

де порядок точності методу збігається з кількістю доданків у квадратних дужках. На практиці, для користування цією формулою залежно від порядку точності, необхідно знати відповідну початкову послідовність значень f_i (а значить і y_i) у вузлах Х_i. Для їх обчислення зазвичай використовують однокроковий метод (наприклад Рунге-Кутти) в початкових точках поблизу x₀, а потім переходять до використання формули Адамса.

Приклади

Розглянемо такий приклад

$y'=y,\quad y(0)=1.$

Точним розв'язком є $y(t)=\mathrm {e} ^{t}$.

Однокроковий Ейлер

Простим чисельним методом є метод Ейлера:

$y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).\,$

Метод Ейлера можна розглядати як вироджений в однокроковий багатокроковий метод.

Цей метод, застосований з кроком розміру $h={\tfrac {1}{2}}$ на проблемі $y'=y$, дає такі висліди:

${\begin{aligned}y_{1}&=y_{0}+hf(t_{0},y_{0})=1+{\tfrac {1}{2}}\cdot 1=1.5,\\y_{2}&=y_{1}+hf(t_{1},y_{1})=1.5+{\tfrac {1}{2}}\cdot 1.5=2.25,\\y_{3}&=y_{2}+hf(t_{2},y_{2})=2.25+{\tfrac {1}{2}}\cdot 2.25=3.375,\\y_{4}&=y_{3}+hf(t_{3},y_{3})=3.375+{\tfrac {1}{2}}\cdot 3.375=5.0625.\end{aligned}}$

Двокроковий метод Адамса-Бешфорта

Метод Ейлер однокроковий. Простий багатокроковий метод це двокроковий метод Адамса-Бешфорта (англ. Adams–Bashforth method)

$y_{n+2}=y_{n+1}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{n+1},y_{n+1})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{n},y_{n}).$

Цей метод для отримання наступного значення, $y_{n+2}$, потребує два значення, $y_{n+1}$ і $y_{n}$. Однак, задача з початковим значенням надає лише одне, $y_{0}=1$. Один з підходів полягає у використанні $y_{1}$ обчисленого методом Ейлера як другого значення. З таким вибором, метод Адамса-Бешфорта видає (округлено до чотирьох цифр):

${\begin{aligned}y_{2}&=y_{1}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{1},y_{1})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{0},y_{0})=1.5+{\tfrac {3}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 1.5-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 1=2.375,\\y_{3}&=y_{2}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{2},y_{2})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{1},y_{1})=2.375+{\tfrac {3}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 2.375-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 1.5=3.7812,\\y_{4}&=y_{3}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{3},y_{3})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{2},y_{2})=3.7812+{\tfrac {3}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 3.7812-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 2.375=6.0234.\end{aligned}}$

Точний розв'язок при $t=t_{4}=2$ є $\mathrm {e} ^{2}=7.3891\ldots$, отже двокроковий метод Адамса-Бешфорта точніший ніж метод Ейлера. Це завжди виконується якщо крок достатньо малий.

Див. також

• Метод Ейлера
• Метод Рунге — Кутти

Джерела

• Єжов С.М. Методи обчислень