Інтегрувальний множник

Диференціальні рівняння
Види рівнянь Звичайні З частинними похідними Лінійні Нелінійні Автономні Алгебраїчні Диференціально-алгебраїчні Інтегро-диференціальні Однорідні Рівняння в повних диференціалах Стохастичні З запізненням
Загальні теми Фазовий простір Інтегральна крива Теорема Пікара — Лінделефа Фазовий портрет Диференціальний оператор Визначник Вронського Стійкість Чисельне інтегрування Фундаментальна матриця
Методи розв'язання Метод характеристик Розділення змінних Знижування порядку Інтегрувальний множник Метод невизначених коефіцієнтів Метод варіації параметрів Метод Ейлера Метод Рунге — Кутти Метод Адамса Метод скінченних різниць Метод Кранка-Ніколсон Метод скінченних елементів Метод Гальоркіна Інтегральне перетворення Теорія збурень
Відомі рівняння Рівняння Лотки-Вольтерри Дивний атрактор Лоренца Рівняння Дуффінга Осцилятор Ван дер Поля Система Хенона-Гейлса Рівняння Ріккаті Хвильове рівняння Рівняння Лапласа Рівняння дифузії Рівняння Бюргерса Рівняння Нав'є — Стокса Рівняння Гамільтона — Якобі Рівняння Коші-Ейлера Рівняння Бернуллі Модель Годжкіна — Гакслі Схема Чуа Атрактор Рьослера Модель Курамото
Математики Ісаак Ньютон Ґотфрід Лейбніц Леонард Ейлер П'єр-Симон Лаплас Жозеф Ліувілль Жозеф-Луї Лагранж Анрі Пуанкаре Рудольф Ліпшиц Олександр Ляпунов Еміль Пікар Карл Рунге Джон Кранк

Інтегрувальний множник (англ. integrating factor) — функція, за допомогою якої спрощують розв'язування певного рівняння із диференціалами. Інтегрувальний множник часто використовують для розв'язання звичайних диференціальних рівнянь, але також використовується в аналізі функцій багатьох змінних, де множення на такий множник дозволяє неточний диференціал перевести в точний (який вже можна інтегрувати для отримання скалярного поля). Це особливо корисно в термодинаміці, де температура стає інтегрувальним множником, який робить ентропію точним диференціалом.

Використання для розв'язання звичайних диференціальних рівнянь

Інтегрувальні множники стають у пригоді під час ров'язання звичайних диференціальних рівнянь, які можна записати в формі

$y'+P(x)y=Q(x)$

Ідея полягає у віднайдені деякої функції $M(x)$, яка зветься "інтегрувальний множник," на яку ми можемо помножити наше диференціальне рівняння з тим, щоб отримати ліворуч похідну. Для лінійного диференціального рівняння в канонічній формі як наведено вище, інтегрувальний множник буде

$M(x)=e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}$

І множення на $M(x)$ дає

$y'e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}+P(x)ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}=Q(x)e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}$

Використовуючи правило добутку в зворотньому напрямку, ми бачимо, що лівий бік рівняння можна виразити як одну похідну по $x$

$y'e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}+P(x)ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}={\frac {d}{dx}}(ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds})$

Ми використовуємо цей факт, щоб спростити вираз до

${\frac {d}{dx}}(ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds})=Q(x)e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}$

Тоді ми інтегруємо обидва боки по $x$, спочатку через перейменування $x$ у $t$, отримуємо

$ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}=\int _{t_{0}}^{x}Q(t)e^{\int _{s_{0}}^{t}P(s)ds}dt+C$

Насамкінець, ми можемо перенести показникову функцію праворуч для отримання загального розв'язку:

$y=e^{-\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}\int _{t_{0}}^{x}Q(t)e^{\int _{s_{0}}^{t}P(s)ds}dt+Ce^{-\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}$

У випадку однорідного диференціального рівняння, коли $Q(x)=0$, ми отримуємо

$y={\frac {C}{e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}}$

де $C$ є сталою.

Приклад

Розв'яжемо диференціальне рівняння

$y'-{\frac {2y}{x}}=0.$

Можна побачити, що в цьому випадку $P(x)={\frac {-2}{x}}$

$M(x)=e^{\int P(x)\,dx}$

$M(x)=e^{\int {\frac {-2}{x}}\,dx}=e^{-2\ln x}={(e^{\ln x})}^{-2}=x^{-2}$ (Зауважте, що ми не мусимо включати сталу інтегрування - нам потрібен лише розв'язок, а не загальний розв'язок)

$M(x)={\frac {1}{x^{2}}}.$

Множимо на $M(x)$ і отримуємо

${\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0$

${\frac {y'x^{3}-2x^{2}y}{x^{5}}}=0$

${\frac {x(y'x^{2}-2xy)}{x^{5}}}=0$

${\frac {y'x^{2}-2xy}{x^{4}}}=0.$

Згадуємо як брати похідну від дробу і робимо це у зворотньому напрямку

$\left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0$

або

${\frac {y}{x^{2}}}=C\,$

що нам дає

$y\left(x\right)=Cx^{2}.$

Посилання

Weisstein, Eric W. Інтегрувальний множник(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.