Інтегрувальний множник

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Інтегрувальний множник (англ. integrating factor) — функція, за допомогою якої спрощують розв'язування певного рівняння із диференціалами. Інтегрувальний множник часто використовують для розв'язання звичайних диференціальних рівнянь, але також використовується в аналізі функцій багатьох змінних, де множення на такий множник дозволяє неточний диференціал перевести в точний (який вже можна інтегрувати для отримання скалярного поля). Це особливо корисно в термодинаміці, де температура стає інтегрувальним множником, який робить ентропію точним диференціалом.

Використання для розв'язання звичайних диференціальних рівнянь[ред.ред. код]

Інтегрувальні множники стають у пригоді під час ров'язання звичайних диференціальних рівнянь, які можна записати в формі

Ідея полягає у віднайдені деякої функції , яка зветься "інтегрувальний множник," на яку ми можемо помножити наше диференціальне рівняння з тим, щоб отримати ліворуч похідну. Для лінійного диференціального рівняння в канонічній формі як наведено вище, інтегрувальний множник буде

І множення на дає

Використовуючи правило добутку в зворотньому напрямку, ми бачимо, що лівий бік рівняння можна виразити як одну похідну по

Ми використовуємо цей факт, щоб спростити вираз до

Тоді ми інтегруємо обидва боки по , спочатку через перейменування у , отримуємо

Насамкінець, ми можемо перенести показникову функцію праворуч для отримання загального розв'язку:

У випадку однорідного диференціального рівняння, коли , ми отримуємо

де є сталою.

Приклад[ред.ред. код]

Розв'яжемо диференціальне рівняння

Можна побачити, що в цьому випадку

(Зауважте, що ми не мусимо включати сталу інтегрування - нам потрібен лише розв'язок, а не загальний розв'язок)

Множимо на і отримуємо

Згадуємо як брати похідну від дробу і робимо це у зворотньому напрямку

або

що нам дає

Посилання[ред.ред. код]

Weisstein, Eric W. Інтегрувальний множник(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.