Фундаментальна матриця (лінійні диференціальні рівняння)

Диференціальні рівняння
Види рівнянь Звичайні З частинними похідними Лінійні Нелінійні Автономні Алгебраїчні Диференціально-алгебраїчні Інтегро-диференціальні Однорідні Рівняння в повних диференціалах Стохастичні З запізненням
Загальні теми Фазовий простір Інтегральна крива Теорема Пікара — Лінделефа Фазовий портрет Диференціальний оператор Визначник Вронського Стійкість Чисельне інтегрування Фундаментальна матриця
Методи розв'язання Метод характеристик Розділення змінних Знижування порядку Інтегрувальний множник Метод невизначених коефіцієнтів Метод варіації параметрів Метод Ейлера Метод Рунге — Кутти Метод Адамса Метод скінченних різниць Метод Кранка-Ніколсон Метод скінченних елементів Метод Гальоркіна Інтегральне перетворення Теорія збурень
Відомі рівняння Рівняння Лотки-Вольтерри Дивний атрактор Лоренца Рівняння Дуффінга Осцилятор Ван дер Поля Система Хенона-Гейлса Рівняння Ріккаті Хвильове рівняння Рівняння Лапласа Рівняння дифузії Рівняння Бюргерса Рівняння Нав'є — Стокса Рівняння Гамільтона — Якобі Рівняння Коші-Ейлера Рівняння Бернуллі Модель Годжкіна — Гакслі Схема Чуа Атрактор Рьослера Модель Курамото
Математики Ісаак Ньютон Ґотфрід Лейбніц Леонард Ейлер П'єр-Симон Лаплас Жозеф Ліувілль Жозеф-Луї Лагранж Анрі Пуанкаре Рудольф Ліпшиц Олександр Ляпунов Еміль Пікар Карл Рунге Джон Кранк

Фундаментальна матриця системи n однорідних звичайних диференціальних рівнянь

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)$

це матрична функція $\Psi (t)$ чиї стовпчики є лінійно незалежними розв'язками системи.

Тоді загальний розв'язок системи можна записати як $\mathbf {x} =\Psi (t)\mathbf {c}$, де $\mathbf {c}$ вектор сталих.

Матрична функція $\Psi$ є фундаментальною матрицею для ${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)$ тоді і тільки тоді, коли

1. ${\dot {\Psi }}(t)=A(t)\Psi (t)$ і
2. $\Psi$ несингулярна для всіх $t$.

Нормалізована фундаментальна матриця

Унікальна матриця ${\tilde {\Psi _{t_{0}}(t)}}$, що задовольняє умові

${\tilde {\Psi }}_{t_{0}}^{'}=A{\tilde {\Psi }}_{t_{0}},\ \ {\tilde {\Psi }}_{t_{0}}^{'}(t_{0})=\mathrm {I}$

називається нормалізована фундаментальна матриця в $t_{0}$ для $A.$

Оскільки змінна $t$ зазвичай позначає час, то зручно нормалізувати в точці $t_{0}=0,$ що дозволяє швидко знайти розв'язок для задача Коші із заданими в нульовий час умовами. Так якщо $\mathbf {x} (0)=\mathbf {x} _{0},$ то розв'язком буде ${\tilde {\Psi }}_{0}\mathbf {x} _{0}.$

Обчислити матрицю можна так ${\tilde {\Psi }}_{t_{0}}(t)=\Psi (t)\ \Psi (t_{0})^{-1}.$