Нечітка множина

Нечітка множина — поняття, введене Лотфі Заде в 1965 році в статті «Fuzzy Sets» в журналі Information and Control, в якому він розширив класичне поняття множини, допустивши, що характеристична функція множини (названа Заде функцією належності для нечіткої множини) може набувати будь-яких значень в інтервалі [0,1], а не тільки значень 0 або 1. Є базовим поняттям нечіткої логіки.

Визначення

Нехай $\mho$ — множина (класична). Нечітка множина $\mathbf {A}$ задається своєю функцією належності:

$\mu _{\mathbf {A} }:\quad \mho \to [0;1]$

Порожня множина $\mu _{\varnothing }(x)=0$, універсальна множина $\mu _{\mho }(x)=1$.

Якщо $\mu _{\mathbf {A} }$ набуває значень $\{0,1\}$, то множина $\mathbf {A}$ — це класична підмножина, $\mathbf {A} \subseteq \mho$, в іншому випадку множина $\mathbf {A}$ є нечіткою. Можна казати, що $\mu _{\mathbf {A} }(x)$ — це ступінь належності елемента $x$ до множини $\mathbf {A}$.

Носій нечіткої множини $\mathbf {A}$ — це

$\mathrm {supp} \ \mathbf {A} =\left\{x\in \mho \mid \mu _{\mathbf {A} }>0\right\}$

Множина рівня $\alpha$, де $\alpha \in [0;1]$ — це

$\mathbf {A} _{\alpha }=\left\{x\in \mho \mid \mu _{\mathbf {A} }\geq \alpha \right\}$

Тоді

$\mathrm {supp} \ \mathbf {A} =\bigcup _{\alpha >0}\mathbf {A} _{\alpha }$

Якщо $\mho \subseteq \mathbb {R}$, то зв'язні нечіткі множини називають нечіткими числами.

Оскільки інтервали можна розглядати як нечіткі числа, то арифметика нечітких чисел є узагальненням інтервальної арифметики.

Операції над нечіткими множинами

Домінування (Вміщення)

Нехай $\mathbf {A}$ і $\mathbf {B}$ — нечіткі множини на універсальній множині $\mathbf {E}$.

Говорять, що $\mathbf {A}$ міститься в $\mathbf {B}$, якщо $\forall x\in \mathbf {E} :\mu _{\mathbf {A} }(x)<\mu _{\mathbf {B} }(x)$.

Позначення: $\mathbf {A} \subset \mathbf {B}$.

Інколи використовують термін «домінування», тобто у випадку, якщо $\mathbf {A} \subset \mathbf {B}$, говорять, що $\mathbf {B}$ домінує $\mathbf {A}$.

Рівність

$\mathbf {A}$ і $\mathbf {B}$ рівні, якщо $\forall x\in \mathbf {E} :\mu _{\mathbf {A} }(x)=\mu _{\mathbf {B} }(x)$.

Позначення: $\mathbf {A} =\mathbf {B}$.

Доповнення

Нехай µ = [0, 1], $\mathbf {A}$ і $\mathbf {B}$ — нечіткі множини, задані на $\mathbf {E}$. $\mathbf {A}$ і $\mathbf {B}$ доповнюють один одного, якщо

$\forall x\in \mathbf {E} :\mu _{\mathbf {A} }(x)=1-\mu _{\mathbf {B} }(x)$.

Доповнення нечіткої множини А позначається символом ${\overline {A}}$.

Операція доповнення відповідає логічному запереченню.

Перетин

Перетин $\mathbf {A}$ і $\mathbf {B}$ позначається $\mathbf {A} \cap \mathbf {B}$ і визначається

$\mu _{\mathbf {A} \cap \mathbf {B} }(x)=\min(\mu _{\mathbf {A} }(x),\ \mu _{\mathbf {B} }(x))$.

Перетин відповідає логічній зв'язці «і». $\mathbf {A} \cap \mathbf {B}$ — найменша нечітка підмножина, яка міститься одночасно в $\mathbf {A}$ і $\mathbf {B} .$

Об'єднання

Об'єднання нечітких множин А і В (А + В)

$A+B=\int _{U}^{}{\frac {\left(\mu \_A(u){\widehat {I}}\mu \_B(u)\ \right)}{u}}$

Об'єднання відповідає логічній зв'язці «або».

А ∪ В — найбільша нечітка підмножина, яка включає як А, так і В, з функцією приналежності:

µA ∪ B(x)= max(µA(x), µ B(x)).

Диз'юнктивна сума

$\mathbf {A} \oplus \mathbf {B} =\mathbf {(A-B)} \cup \mathbf {(B-A)} =(\mathbf {A} \cup \mathbf {B} )-(\mathbf {A} \cap \mathbf {B} ).$

А⊕B = (А — B) ∪ (B — А) = (А ∩) ∪ ∩ B) з функцією приналежності:

µA — B(x) = max {[min {µA(x), 1 — µB(x)}];

[min {1 — µA(x), µB(x)}] }

Добуток А і В позначається АВ і визначається

$AB=\int _{U}^{}{\frac {\left(\mu \_A(u)\mu \_B(u)\ \right)}{u}}$

Піднесення до степеня

$a>0,A^{e}=\int _{U}^{}{\frac {\left(\mu \_A(u)\ \right)^{e}}{u}}$

Концентрація (частковий випадок піднесення до степеня):

$CON(A)=A^{2}$

Розтягування (розмивання):

$DIL(A)={\sqrt {A}}$

Чітке відображення

Нехай X і Y — дві заданих універсальних множини. Говорять, що наявна функція, визначена на X зі значенням у Y, якщо, у силу деякого закону f, кожному елементу $X\in \mathbb {X}$ відповідає елемент $y\in \mathbb {Y}$.

Коли функцію f : $X\to \mathbb {Y}$ називають відображенням, значення $f(x)\in \mathbb {Y}$, якого вона набуває на елементі $x\in \mathbb {X}$, звичайно називають образом елемента x.

Образом множини $A\in \mathbb {X}$ при відображенні $c\in \mathbb {Y}$ називають множину $f(A)\in \mathbb {Y}$ тих елементів Y, що є образами елементів множини А.

Дане класичне визначення відображення, яке у теорії нечітких множин називають чітким відображенням.

Нечітке відображення

Нечітке відображення— це відображення виду:

$\varphi :\quad \mathbf {X} _{1}\times \mathbf {X} _{2}\times \cdots \times \mathbf {X} _{n}\to \mathbf {Y}$

Нечіткі відображення задаються функціями належності образів нечітких множин.

Тобто, якщо $~\mu _{k}(x_{k})$ — функція належності множини $\mathbf {A} _{k}$ та нехай

$\mathbf {B} \subset \mathbf {Y} ,\quad \mathbf {A} _{1}\subset \mathbf {X} _{1},\quad \mathbf {A} _{2}\subset \mathbf {X} _{2},\quad \ldots ,\quad \mathbf {A} _{n}\subset \mathbf {X} _{n}$

Тоді функція належності множини B задається у вигляді:

$\mu _{\mathbf {B} }=\mathrm {supp} _{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in \mathbf {X} }\min {\Big (}\mu _{1}(x_{1})\mu _{2}(x_{2})\ldots \mu _{n}(x_{n})\mu _{\varphi }(x_{1}\ldots x_{n}y){\Big )}$

Або:

$\mu _{\varphi (x_{1}\ldots x_{n})}=\mathrm {supp} _{x_{1},\ldots ,x_{n} \atop \varphi (x_{1}\ldots x_{n})}\min {\Big (}\mu _{a_{1}}(x_{1}),\ldots ,\mu _{a_{n}}(x_{n}){\Big )}$

Джерела

• О. Ф. Волошин, С. О. Мащенко (2011). Моделі та методи прийняття рішень. Київ.
• В. Я. Півкін, Є. П. Бакулін, Д. І. Кореньков; (2001). Нечіткі множини в системах управління: навч. посібник [Електронний ресурс].