Рівнобедрений трикутник

Рівнобедрений трикутник

Рівнобе́дрений трику́тник, також рівнораме́нний трику́тник або рівнопле́чий трику́тник — трикутник, у якого дві сторони рівні.

Рівні сторони називають бічними сторонами, а третю сторону — основою рівнобедреного трикутника.

Рівнобедрені трикутники є гранями правильних пірамід, біпірамід, деяких тіл Каталана (триакістетраедр, триакісоктаедр, тетракісгексаедр, пентакісдодекаедр, триакісікосаедр), прямих клинів тощо.

Окремі випадки

До рівнобедрених трикутників належать такі трикутники:

• Правильний трикутник;

Кожен правильний трикутник є рівнобедреним (за означенням), але обернене твердження не є правильним.

Рівнобедрений прямокутний трикутник

• Рівнобедрений прямокутний трикутник;

Має кути: 45, 45° та 90°. Є половиною квадрата.

З усіх прямокутних трикутників, рівнобедрені прямокутні трикутники мають найменше відношення гіпотенузи до суми катетів, а саме √22.^{:стор.282,стор.358} та найбільше відношення висоти, проведеної до гіпотенузи до суми катетів, а саме √24.^{:стор.282}

• "Золотий трикутник;
• Трикутник Калабі.

Властивості рівнобедреного трикутника

Властивості рівнобедреного трикутника

• Кути, протилежні бічним сторонам рівнобедреного трикутника, рівні.
• Бісектриса, медіана, висота і серединний перпендикуляр рівнобедреного трикутника, проведені до основи, збігаються.
• Бісектриси, проведені з вершин кутів при основі рівнобедреного трикутника, рівні.
• Медіани, проведені до бічних сторін рівнобедреного трикутника, рівні.
• Висоти, проведені до бічних сторін рівнобедреного трикутника, рівні.
• Центри вписаного та описаного кіл рівнобедреного трикутника лежать на прямій, що містить висоту, медіану та бісектрису, проведені до основи.
• Кути, протилежні рівним сторонам, завжди гострі (випливає з їхньої рівності та того, що сума кутів трикутника 180°).
• Має вісь симетрії, що проходить через вершину та середину основи рівнобедреного трикутника; на ній лежать висота (медіана, бісектриса, серединний перпендикуляр), проведені до основи трикутника.

Цікава інформація про доведення властивості кутів при основі рівнобедреного трикутника

Основна властивість рівнобедреного трикутника «кути при його основі рівні» була сформульована в одній із перших теорем «Начал» Евкліда.

Доведення цієї теореми приписують Фалесу Мілетському, який жив за два століття до Євкліда. Пізніше цю теорему назвали Pons asinorum, що на латинській означає «міст віслюків». Пояснюють цю назву, з одного боку, тим, що креслення, використане Евклідом для її доведення, нагадує міст, а з іншого боку — думкою, що тільки віслюки не можуть цей міст перейти.

Ознаки рівнобедреного трикутника

• Якщо два кути трикутника рівні, то він рівнобедрений.
• Якщо бісектриса, медіана і висота, проведені до однієї сторони трикутника, збігаються, то він рівнобедрений.
• Якщо дві медіани трикутника рівні, то він рівнобедрений.
• Якщо дві висоти трикутника рівні, то він рівнобедрений.
• Якщо дві бісектриси трикутника рівні, то він рівнобедрений. (Доведення цієї ознаки виявилося доволі важким. Це теорема Штейнера-Лемуса.)

Деякі формули для знаходження елементів рівнобедреного трикутника

Нехай $a$ — довжина двох рівних сторін рівнобедреного трикутника, $b$ — довжина третьої сторони, $\alpha$ і $\beta$ — відповідні кути, $R$ — радіус описаного кола, $r$ — радіус вписаного кола.

Рівнобедрений трикутник

Сторони можна знайти так:

$a=2R\sin \alpha ,b=2R\sin \beta$ (теорема синусів);

$a={\frac {b}{2\cos \alpha }}$ (наслідок теореми косинусів);

$b=a{\sqrt {2(1-\cos \beta )}}$ (наслідок теореми косинусів);

$b=2a\sin {\frac {\beta }{2}}$ ;

$b=2a\cos \alpha$ (теорема про проєкції).

Кути можна виразити так:

$\alpha ={\frac {\pi -\beta }{2}}$;

$\beta =\pi -2\alpha$;

$\alpha =\arcsin {\frac {a}{2R}},\beta =\arcsin {\frac {b}{2R}}$ (теорема синусів).

Периметр рівнобедреного трикутника можна обчислити будь-яким з наступних способів:

$P=2a+b$ (за означенням);

$P=2R(2\sin \alpha +\sin \beta )$ (наслідок теореми синусів).

Радіус описаного кола можна визначити за формулою:

$R={\frac {a^{2}}{2h}}={\frac {b^{2}}{8h}}+{\frac {h}{2}}={\frac {a^{2}}{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}}$

Радіус вписаного кола можна визначити за формулою:

$r={\frac {2ab-b^{2}}{4h}}={\frac {b}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {2a-b}{2a+b}}}$

де h — висота, проведена до основи рівнобедреного трикутника.

Центри вписаного та описаного кіл лежать на осі симетрії трикутника.

Площу трикутника можна обчислити за формулами:

$S={\frac {1}{2}}ah_{a}={\frac {1}{2}}bh_{b}$, де $h_{a}$ та $h_{b}$ — висоти, опущені на сторони $a$ та $b$ відповідно;

$S={\frac {1}{2}}a^{2}\sin \beta ={\frac {1}{2}}ab\sin \alpha ={\frac {b^{2}}{4\mathrm {tg} \,{\frac {\beta }{2}}}}$;

$S={\frac {1}{2}}b{\sqrt {\left(a+{\frac {1}{2}}b\right)\left(a-{\frac {1}{2}}b\right)}}$ (наслідок з формули Герона).

Література

• Енциклопедія для дітей. Т. 11. Математика / Голов. ред. М. Д. Аксьонова. — М: Аванта +, 2001. — 688 c.: іл.
• Геометрія: підруч. для 7 кл. закладів заг. серед. освіти / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір. — Х. : Гімназія, 2020. — 240 с. : іл.
• Рівнобедрений трикутник: означення, властивості, приклади