Лінійна алгебрична група

У математиці, лінійною алгебричною групою називається підгрупа групи оборотних матриць розмірності n×n (з операцією множення матриць), що задається поліноміальними рівняннями. Еквівалентно лінійною алгебричною групою називається афінний многовид, що одночасно є групою операції на якій є морфізмами афінних многовидів. Еквівалентність двох означень є одним з найважливіших результатів теорії цих груп.

Головними прикладами лінійних алгебричних груп є деякі класичні групи Лі, для яких поле є дійсним чи комплексним полем. Наприклад, будь-яка компактна група Лі може розглядатися як група дійсних точок дійсної лінійної алгебричної групи, завдяки теоремі Петера — Вейля.

Теорія лінійних алгебричних груп значно залежить від поля над яким ці групи задані, як афінні многовиди. Для алгебрично замкнутих полів (особливо характеристики 0) лінійні алгебричні властивості мають багато спільного з групами Лі. Для довільних полів теорія є складнішою і не настільки добре вивченою. У перших розділах статті описуються властивості для алгебрично замкнутих полів.

Історія

Теорія лінійних алгебричних груп виникла з потреб розв'язування лінійних диференціальних рівнянь в квадратурі (так звана теорія Галуа диференціальних рівнянь) наприкінці 19 століття у працях Софуса Лі, Людвіга Маурера, Вільгельма Кіллінга, Елі Картана і початкове вивчення лінійних алгебричних груп над полем комплексних чисел проводилося по аналогії з теорією груп Лі методом алгебр Лі. Лінійна алгебрична група $G$ над полем комплексних чисел $\mathbb {C}$ може розглядатися як аналітична підгрупа групи $GL_{n}(\mathbb {C} )$.

Методи теорії алгебричних груп і алгебр Лі в середині 20 століття були істотно вдосконалені і узагальнені Клодом Шевальє, що дозволило йому застосувати їх до вивчення лінійних алгебричних груп над довільними полями нульової характеристики. Для полів ненульової характеристики метод алгебр Лі є менш ефективним, так що природно виникла необхідність глобального дослідження лінійних алгебричних груп з допомогою методів алгебричної геометрії. Основи глобального дослідження лінійних алгебричних груп були закладені Арманом Борелем.

Означення

Лінійна алгебрична група є за означенням, афінним алгебричним многовид G на якому задані два морфізми

$\mu :G\times G\to G,i:G\to G$

що задовольняють звичні аксіоми групи.

Гомоморфізм груп (як абстрактних груп), що є також морфізмом алгебричних многовидів, називається гомоморфізмом алгебричних груп. Підгрупа (у розумінні абстрактної теорії груп) лінійної алгебричної групи, що є також замкнутою множиною у топології Зариського має структуру лінійної алгебричної групи і називається підгрупою лінійної алгебричної групи.

Багато базових понять абстрактної теорії груп можна ввести також і для лінійних алгебричних груп. Наприклад, нормалізатор, центр, і централізатор замкнутої підгрупи H деякої лінійної алгебричної групи G є також замкнутими і тому лінійними алгебричними групами.

Еквівалентно означення лінійної алгебричної групи можна дати за допомогою структури алгебри Хопфа (тобто алгебр із додатковою узгодженою коалгебричною структурою) на координатній алгебрі $A=k[G]$. Групові операції, як морфізми афінних многовидів тоді визначають на координатній алгебрі операції $\Delta :A\mapsto A\otimes _{k}A$ і $i:A\mapsto A$, а одиничний елемент задає гомоморфізм $e:A\mapsto k$.

Задані таким чином відображення задовольняють властивості комноження, антипода і коодиниці і разом з операціями у алгебрі $A=k[G]$ утворюють структуру алгебри Хопфа на $k[G]$. Навпаки якщо на деякій скінченнопородженій цілісній редукованій алгебрі над полем задана структура алгебри Хопфа, то розглядаючи відповідний афінний многовид морфізми, що відповідають комноженню і антиподу і елемент, що відповідає коодиниці будуть множенням, обертанням і одиницею групи. Відповідно многовид буде лінійною алгебричною групою.

Іншими словами функтор $G\mapsto k[G]$, що ставить у відповідність лінійній алгебричній групі її координатну алгебру задає еквівалентність категорій лінійних алгебричних груп і алгебр Хопфа.

Приклади

• Група $\mathbb {G} _{m}=GL_{1}$ називається мультиплікативною групою. Алгеброю Хопфа мультиплікативної групи $\mathbf {G} _{m}$ є $k[X,X^{-1}]$ з комноженням заданим як $X\mapsto X\otimes X$, антиподом $X\mapsto X^{-1}$ і коодиницею $X\mapsto 1$.
• Група $\mathbb {G} _{a}$ елементів k (з операцією додавання), що називається адитивною групою може також бути записана як матрична група, елементами якої є матриці виду:

${\begin{bmatrix}1&x\\0&1\end{bmatrix}}.$

Алгеброю Хопфа адитивної групи $\mathbf {G} _{m}$ є $k[X]$ з комноженням заданим як $X\mapsto X\otimes 1+1\otimes X$, антиподом $X\mapsto -X$ і коодиницею $X\mapsto 0$.

• Загальна лінійна група $GL_{n}(k)$, що складається з оборотних квадратних матриць розмірності n над полем k є лінійною алгебричною групою. Вона є афінним многовидом оскільки множина $GL_{n}$ є головною відкритою множиною, що є доповненням замкнутої множини $V(\det(X))$ і згідно теорії алгебричних многовидів головні відкриті множини є афінними многовидами. Множення матриць є поліноміальною операцією від елементів матриць і обернена матриця є поліноміальною операцією від елементів матриць і ${\frac {1}{\det(X)}}$. Тому і множення матриць і обертання матриці є морфізмами афінних многовидів.

Координатна алгебра цієї групи рівна $A=k[GL_{n}]=k[X_{ij},(\det(X))^{-1}]$, де $X_{ij}$ — координатні функції на матриці. Комноження задається на базисних елементах як $\Delta (X_{ij})=\sum _{h=1}^{n}X_{ih}\otimes X_{hj}$, а значенням антипода $i(X_{ij})$ - $(i,j)$ — елемент матриці $X^{-1}$. Коодиниця на базисних елементах задається як $e(X_{ij})=\sigma _{ij}$.

• Будь-які замкнуті (в топології Зариського) підгрупи загальної лінійної групи є лінійними алгебричним (і навпаки всі лінійні алгебричні групи мають такий вид). Важливими прикладами є зокрема скінченні групи, невироджені діагональні матриці $D_{n}(k)$, спеціальні лінійні групи $SL_{n}(k)$, ортогональні групи $O_{n}(k)$, спеціальні ортогональні групи $SO_{n}(k)$, симплектичні групи $Sp_{n}(k)$, верхні трикутні матриці $T_{n}(k)$ і уніпотентні верхні трикутні матриці $U_{n}(k)$, тобто матриці виду

$\left({\begin{array}{cccc}1&*&\dots *\\0&1&\ddots &*\\\dots &\ddots &\ddots &*\\0&\dots &0&1\end{array}}\right)$.

Основні властивості

• Для будь-якої алгебричної групи G, що є афінним многовидом з узгодженою структурою існує точне лінійне представлення V, що також є морфізмом многовидів, тобто, G є замкнутою підгрупою $GL_{n}(k)$. Таким чином два можливих означення цих груп, як афінних многовидів і замкнутих (в топології Зариського) підгруп загальної лінійної групи є еквівалентними.
• Лінійна алгебрична група є незвідною тоді і тільки тоді коли вона є зв'язаною.
• У лінійній алгебричній групі G існує єдина компонента одиниці $G^{\circ }$, тобто компонента зв'язності що містить одиничний елемент алгебричної групи G. $G^{\circ }$ є нормальною підгрупою скінченного індексу. Будь-яка замкнута підгрупа скінченного індексу групи $G$ містить компоненту одиниці.
• Ядро гомоморфізму лінійних алгебричних груп є замкнутою нормальною підгрупою. Образ гомоморфізму є замкнутою підгрупою. Образ компоненти одиниці при гомоморфізмі лінійних груп буде рівним компоненті одиниці образу гомоморфізму.
• Нехай $G$ — лінійна алгебрична група і $(G_{i})_{i\in I}$ — множина її замкнутих зв'язаних підгруп. Тоді підгрупа $H$ породжена цією множиною підгруп буде замкнутою і зв'язаною і існує така скінченна підмножина з цих підгруп (позначимо їх $G_{1},\ldots ,G_{n}$) що $H=G_{1}G_{2}\cdot \ldots \cdot G_{n}$.
• Нехай $G$ — лінійна алгебрична група і $\rho$ — її представлення як підгрупи $GL_{n}(k)$. Тоді для кожного елемента $g\in G$ існують єдині елементи $g_{s}\in G$ і $g_{u}\in G$ такі, що $g=g_{u}g_{s}=g_{s}g_{u}$ і також $\rho (g_{s})=\rho (g)_{s}\;\rho (g_{u})=\rho (g)_{u}$, де $\rho (g)_{s},\rho (g)_{u}$ позначають напівпросту і уніпотентну компоненти розкладу Жордана — Шевальє відповідних ендоморфізмів. До того ж елементи $g_{s},g_{u}$ не залежать від вибору $\rho$ і якщо $\varphi :G\to G'$ — гомоморфізм лінійних алгебричних груп то також $\varphi (g_{s})=\varphi (g)_{s}\;\varphi (g_{u})=\varphi (g)_{u}$. Елементи $g_{s},g_{u}$ називаються напівпростою і уніпотентною частинами елемента групи. Елементи групи називаються напівпростими і унівалентними, якщо вони рівні, відповідно, своїй напівпростій і унівалентній частині. Якщо $G=GL_{n}(k)$, то $g_{s},g_{u}$ є напівпростою і уніпотентною компонентами розкладу Жордана — Шевальє.

Алгебра Лі групи G

Алгебра Лі ${\mathfrak {g}}$ алгебричної групи G може бути описана кількома еквівалентними способами: як дотичний простір $T_{e}(G)$ в одиничному елементі або як простір лівоінваріантних диференціювань, тобто, диференціювань $\partial :k[G]\to k[G]$ координатного кільця G для яких

$\partial \lambda _{x}=\lambda _{x}\partial ,$

де $\lambda _{x}:k[G]\to k[G]$ є лівим множенням для елемента $x\in G$.

Для фіксованого $x\in G$ диференціювання спряження $\mu :G\to G,g\mapsto xgx^{-1}$ називається приєднаним представленням:

$Ad:G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}}).$

Зв'язок між алгебричною групою G і її алгеброю Лі k є особливо тісним для полів характеристики нуль.

У цьому випадку замкнута зв'язана підгрупа H лінійної алгебричної групи G однозначно визначається своєю підалгеброю Лі ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$.

Натомість не кожна підалгебра Лі відповідає якійсь лінійній алгебричній групі. Наприклад у випадку загальної лінійної групи порядку n у алгебрично замкнутому полі її алгеброю Лі є алгебра усіх ендоморфізмів n-вимірного векторного простору (чи еквівалентно усіх квадратних матриць порядку n). При цих умовах підалгебра Лі буде алгебричною (тобто алгеброю Лі деякої лінійної алгебричної групи) тоді і тільки тоді коли разом з елементом $v$ цій алгебрі також належать елементи $v_{s}$ і $v_{n}$ (де $v_{s},v_{n}$ - напівпроста і нільпотентна компоненти адитивного розкладу Жордана — Шевальє) і якщо діагоналізація напівпростого ендоморфізму має вигляд $v_{s}=diag(s_{1},\ldots ,s_{m})$ то алгебрі також належать усі ендоморфізми виду $diag(\Phi (s_{1}),\ldots ,\Phi (s_{m}))$, де $\Phi$ — деяке $\mathbb {Q}$-лінійне відображення базового поля k.

У випадку полів додатної характеристики різним зв'язаним підгрупам може відповідати одна алгебра Лі.

Основні типи груп і підгруп і класифікація

Тори і діагоналізовні групи

Група що є ізоморфною $\mathbf {G} _{m}^{n}$, (добутку n копій мультиплікативної групи, називається алгебричним тором. Зокрема, група $D_{n}$ діагональних матриць розмірності n є тором.

Для лінійної алгебричної групи $G$ підгрупа називається максимальним тором, якщо вона є алгебричним тором і не є власною підмножиною жодного іншого тора. Наприклад підгрупа діагональних матриць $D_{n}$ є максимальним тором групи усіх невироджених матриць розмірності n. Усі максимальні тори є спряженими підгрупами. Розмірність максимальних торів називається рангом алгебричної групи.

Алгебричні групи що є ізоморфними замкнутій підгрупі $D_{n}$ називаються діагоналізовними. Ці групи визначаються своїми характерами , тобто, гомоморфізмами алгебричних груп

$\chi :G\to \mathbf {G} _{m}.$

Множина таких характерів $X(G)$ є абелевою групою для будь-якої G. Зіставлення

$G\mapsto X(G)$

задає еквівалентність категорій діагоналізовних алгебричних груп і абстрактних абелевих групи без p-кручення, де p є характеристикою поля k.

Для будь-якої (не обов'язково діагоналізовної) G, група $Y(G):=\operatorname {Hom} (\mathbf {G} _{m},G)$ кохарактерів є двоїстою групі $X(G)$ характерів.

Діагоналізовна група є прямим добутком тора і скінченної абелевої групи порядок якої є числом взаємно простим із характеристикою основного поля. При цьому вона є тором тоді і тільки тоді коли вона є зв'язаною.

Розв'язні групи і підгрупи Бореля

Лінійна алгебрична група називається розв'язною, якщо вона є розв'язною як абстрактна група. Згідно теореми Лі — Колчина будь-яка зв'язна розв'язна група (якщо її розглядати як замкнуту підгрупу загальної лінійної групи) є спряженою деякій підгрупі $T_{n}(k)$.

Згідно теорема Бореля про фіксовану точку зв'язана розв'язна група G що діє на непустому повному алгебричному многовиді X має точку x що фіксується усіма $g\in G$.

Важливими для вивчення і класифікації лінійних алгебричних груп є підгрупи Бореля, тобто, максимальні зв'язні нормальні розв'язні підгрупи. Наприклад, підгрупою Бореля групи $GL_{n}(k)$ є підгрупа $T_{n}(k)$ верхніх трикутних матриць (для яких всі елементи нижче діагоналі є рівними нулю). Підгрупи Бореля B G дозволяють звести деякі питання про алгебричні групи до розв'язних груп. Наприклад, будь-який тор T міститься в деякій підгрупі Бореля B. Кожен елемент групи теж належить деякій підгрупі Бореля.

Для підгрупи H групи G, на фактор-просторі G/H можна ввести структуру алгебричного многовида. Підгрупи Бореля є мінімальними серед підгруп для яких цей фактор-простір є проєктивним многовидом, тобто, ізоморфним замкнутій множині в деякому $\mathbb {P} _{k}^{n}$.

Підгрупи G що містять підгрупу Бореля називаються параболічними. Наприклад, параболічними підгрупами групи $GL_{3}(k)$ що містять підгрупу Бореля $T_{3}(k)$ є

$\left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&*&*\end{bmatrix}}\right\}$ і $\left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\*&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}.$

Уніпотентні групи

Ще одним важливим прикладом є підгрупа $U_{n}(k)\subset T_{n}(k)$ де усі діагональні елементи є рівними 1. Матриці A у цій групі є уніпотентними, тобто, $A-{\text{id}}$ є нільпотентними. Група $T_{n}(k)$ є напівпрямим добутком груп $U_{n}$ і $D_{n}$. Більш загально, будь-яка зв'язна розв'язна група G є напівпрямим добутком

$G=T\ltimes G_{u}$

де T — максимальний тор і $G_{u}$ — підгрупа уніпотентних елементів.

Напівпроста і редуктивна групи

Радикалом R(G) лінійної алгебричної групи G називається максимальна зв'язна розв'язна підгрупа G. Пов'язаним є поняття уніпотентного радикалу $R_{u}(G)$ що складається з уніпотентних елементів $R(G)$. Якщо підгрупа $R(G)$ (відповідно $R_{u}(G)$) є тривіальною, то G називається напівпростою (відповідно редуктивною). Наприклад, радикал $GL_{n}(k)$ є рівним центру (що є ізоморфним $G_{m}$) і не містить уніпотентних елементів за винятком 1, тож $GL_{n}$ є редуктивною групою. Подібним чином доводиться, що $SL_{n}(k)$ є напівпростою групою.

Класифікація лінійних алгебричних груп

Класифікація лінійних алгебричних груп в основному зводиться до класифікації для двох типів лінійних алгебричних груп: напівпростих і розв'язних. Фундаментальним результатом є класифікація Клодом Шевальє напівпростих (і, більш загально, редуктивних) лінійних алгебричних груп над алгебрично замкнутими полями довільної характеристики. Ця класифікація аналогічна класифікації Картана — Кіллінга комплексних напівпростих груп Лі. Класифікація Шевальє ґрунтується на тому, що для напівпростих алгебричних груп будуються аналоги елементів теорії Картана — Кіллінга — підгрупа Картана (що за означенням рівна централізатору максимального тора), корені і т. д. Важливу роль при цьому відіграють підгрупи Бореля і максимальні алгебричні тори.

Нехай $G$ — напівпроста лінійна алгебрична група, $T$ — її максимальний тор, $N_{G}(T)$ — нормалізатор $T$ у $G$, $W=N_{G}(T)/T$ — група Вейля групи $G$. Тор T міститься лише в скінченній кількості підгруп Бореля групи $G$, які транзитивно переставляються спряженням елементами з $N_{G}(T)$. За допомогою підгруп Бореля, що містять $T$, будуються мономорфізми адитивної групи поля в підгрупи Бореля (що містять $T$), які відіграють роль коренів. За допомогою техніки розкладів Брюа доводиться, що зазначена система структурних елементів допускає повну класифікацію і визначає групу $G$ з точністю до ізоморфізму. Остаточна класифікація напівпростих груп не залежить від характеристики основного поля і тому збігається з класифікацією комплексних напівпростих алгебричних груп.

Теорія для загальних полів

Теорія лінійних алгебричних груп над полем k, що не є алгебрично замкнутим є складнішою, ніж у випадку алгебрично замкнутого. Наприклад, у цьому випадку є важливі відмінності між k-розкладними торами (що є ізоморфними $G_{m}$ над полем k) і торами, що не розкладаються. Останні розкладаються після переходу до скінченного розширення поля k.

Якщо у групі немає максимальних торів, що розкладаються, важливим є дослідження k-розкладних торів і максимальних елементів серед них. У разі довільного поля k максимальні k-розкладні тори відіграють роль, аналогічну ролі максимальних алгебричних торів в групі G над алгебрично замкнутим полем. Максимальні k-розкладні тори в $G$ є спряженими. Якщо у групі є розщеплений тор розмірності принаймні 1 то група називається ізотропною. В іншому випадку вона називається анізотропною. k-ізотропність для напівпростої групи G еквівалентна тому, що група G має неодиничні уніпотентні елементи.

Роль підгрупи Бореля в разі довільного поля до відіграє мінімальна параболічна k-підгрупа, тобто мінімальна k-визначена підгрупа G, що містить підгрупу Бореля. Природно означається коренева система щодо максимального k-розкладного тора в G і відповідна група Вейля. Якщо група $G$ має k-розкладний максимальний тор, то ці структурні елементи не залежать від поля k і визначають такі групи з точністю до k-ізоморфізмів. Групи, які мають k-розкладні максимальні тори, називаються k-розкладними, або групами Шевальє.

Застосування

Дія групи і геометрична теорія інваріантів

В алгебричній геометрії часто важливою є дія лінійної алгебричної групи на алгебричному многовиді

$G\times X\to X.$

Такі дії на практиці часто виникають коли G є деякою групою автоморфізмів; Наприклад $GL_{n}$ є групою усіх автоморфізмів n-вимірного векторного простору, а ортогональна група, групою автоморфізмів, що не змінюють скалярний добуток.

Якщо G є уніпотентною і X афінним многовидом, то кожна G-орбіта $Gx$ є замкнутою.

Об'єктом геометричної теорії інваріантів є вивчення фактор-простору

$G\backslash X$

G-дії на X. Загалом цей фактор-простір може не бути алгебричним многовидом оскільки кільце (для афінного многовида X)

$(k[X])^{G}$

G-інваріантних функцій на X може не бути скінченнопородженим. Згідно теореми Габуша проте це кільце є скінченнопородженим якщо G є редуктивною групою; зокрема це справедливо для групи $G=GL_{n}$, що було доведено Гільбертом.

Див. також

• Алгебра Лі
• Алгебрична група
• Алгебричний многовид
• Група Лі
• Група (математика)
• Загальна лінійна група
• Розклад Жордана — Шевальє
• Уніпотентний елемент

Література

• Borel, Armand (1991) [1969], Linear Algebraic Groups (вид. 2nd), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97370-2, MR 1102012
• Borel, Armand; Tits, Jacques (1965), Groupes réductifs, Publications Mathématiques de l'IHÉS, 27: 55—150, MR 0207712, архів оригіналу за 5 червня 2011, процитовано 28 грудня 2017
• Bröcker, Theodor; tom Dieck, Tammo (1985), Representations of Compact Lie Groups, Springer Nature, ISBN 0-387-13678-9, MR 0781344
• Conrad, Brian (2014), Reductive group schemes, Autour des schémas en groupes (PDF), т. 1, Paris: Société Mathématique de France, с. 93—444, ISBN 978-2-85629-794-0, MR 3309122, архів оригіналу (PDF) за 9 вересня 2020, процитовано 28 грудня 2017
• Deligne, Pierre; Milne, J. S. (1982), Tannakian categories, Hodge Cycles, Motives, and Shimura Varieties, Lecture Notes in Mathematics, т. 900, Springer Nature, с. 101—228, ISBN 3-540-11174-3, MR 0654325, архів оригіналу за 23 грудня 2017, процитовано 28 грудня 2017
• Humphreys, James E. (1975), Linear Algebraic Groups, Springer, ISBN 0-387-90108-6, MR 0396773
• Kolchin, E. R. (1948), Algebraic matric groups and the Picard–Vessiot theory of homogeneous linear ordinary differential equations, Annals of Mathematics, Second Series, 49: 1—42, doi:10.2307/1969111, ISSN 0003-486X, MR 0024884
• Milne, J. S. (2017), Algebraic Groups, Cambridge University Press, ISBN 978-1107167483
• Springer, Tonny A. (1998) [1981], Linear Algebraic Groups (вид. 2nd), New York: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4021-5, MR 1642713