Блочна матриця — матриця, що уявно поділена на однакові прямокутні частини (блоки), які самі розглядаються як матриці.
Матриця
складається з наступних блоків (матриць):
І може бути записана як блочна матриця
![{\displaystyle P={\begin{pmatrix}P_{11}&P_{12}\\P_{21}&P_{22}\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce98df1ad3db7adec6b9aa61d329018dcbb3784b)
Множення блочних матриць може бути обчислене тільки за допомогою операцій над блоками. Якщо
— матриця розміру m×p, поділена на q×s блоків,
— матриця розміру p×n, поділена на s×r блоків,
тоді добуток
![{\displaystyle C=AB}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/636d3b809b596fe5cd46c13aff3deb285f18cba3)
буде матрицею розміру m×n, поділеною на q×r блоків. Блоки обчислюватимуться за формулою:
![{\displaystyle C_{ij}=\sum _{k=1}^{s}A_{ik}B_{kj}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5907143744088b87d1e651fcec9958b24bae2c82)
Або, використовуючи нотацію Ейнштейна, цю формулу можна записати так:
![{\displaystyle C_{ij}=A_{ik}B_{kj}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15c86f782ce03eaa3459c546b90eb667ef898058)
Нехай A, B, C, D є матрицями розмірів p×p, p×q, q×p і q×q відповідно і P — наступна блочна матриця:
![{\displaystyle P={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8cc1f326c0b2bd569256ba28360f5b05ad70a36)
Якщо A і доповнення Шура D - CA-1B для блоку A матриці P є оборотними матрицями, то
[1]
Якщо D і доповнення Шура A - BD-1C для блоку D матриці P є оборотними матрицями, то
![{\displaystyle P^{-1}={\begin{pmatrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&-\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3727659157a71a26327661d7be29a3fcc4b0190)
Якщо наведені вище умови виконуються разом, то
![{\displaystyle P^{-1}={\begin{pmatrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&0\\0&\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{p}&-BD^{-1}\\-CA^{-1}&I_{q}\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/017da4c5468b13e6dc89cc8ac5f40a9685e0ed33)
Для блочної матриці, яка складається з чотирьох матриць A, B, C, D розмірів p×p, p×q, q×p і q×q відповідно, при умові, що одна з матриць B або C нульова, можна вивести формулу визначника, яка схожа на формулу визначника матриці 2×2:
![{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&0\\C&D\end{pmatrix}}=\det(A)\det(D)=\det {\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/572b4824526598a089d188a9bf2aaa14e18aba81)
Якщо A — оборотна матриця, то
![{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\det(A)\det \left(D-CA^{-1}B\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5036fd5a7506773be9337eb7b69dfcbcd4506a58)
Якщо D — оборотна матриця, то
![{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\det(D)\det \left(A-BD^{-1}C\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a352641dddab25c16010c8eaa6ec880a22615a5c)
Тепер нехай всі блоки будуть квадратними матрицями однакового розміру і
![{\displaystyle P={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a44b209e71ee869ca8e782b194bfca3cbd15583)
Якщо A і B комутують, то
[2][3]
Якщо A і C комутують, то
Якщо B і D комутують, то
Якщо C і D комутують, то
Блочна діагональна матриця — це блочна матриця що є квадратною матрицею, блоки якої також є квадратними матрицями і блоки поза основною діагоналлю є нульовими матрицями. Тобто має форму
![{\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{1}&0&\cdots &0\\0&A_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{n}\end{pmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe19faf3f0fe65380b9636e34c5f102494f1fc8)
де Ak — квадратні матриці; іншими словами, пряма сума матриць A1, …, An. Записується A1
A2
An чи diag(A1, A2,
, An).
Визначник та слід такої матриці мають наступні властивості:
,
.
Блочна діагональна матриця оборотна тоді і тільки тоді, коли кожен з її блоків на діагоналі є оборотною матрицею, і тоді
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}&0&\cdots &0\\0&A_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{n}\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}A_{1}^{-1}&0&\cdots &0\\0&A_{2}^{-1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{n}^{-1}\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9efeebec141821e424af6050d33edc8d9611dd0e)
Для довільного натурального m буде:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}&0&\cdots &0\\0&A_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{n}\end{pmatrix}}^{m}={\begin{pmatrix}A_{1}^{m}&0&\cdots &0\\0&A_{2}^{m}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{n}^{m}\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2076ba4ccefad92fb8381e8de2149bba9fd9571d)
Множина власних векторів блочної матриці збігається з об'єднанням множин власних векторів матриць на її діагоналі. Те саме стосується і власних значень.
Блочна тридіагональна матриця - це квадратна матриця, яка має квадратні матриці (блоки) на головній діагоналі та діагоналях під та над нею, а всі інші блоки - нульові матриці.
Це по-суті тридіагональна матриця, але на місці скалярів в неї підматриці. Така матриця має наступний вигляд:
![{\displaystyle A={\begin{pmatrix}B_{1}&C_{1}&&&\cdots &&0\\A_{2}&B_{2}&C_{2}&&&&\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&A_{k}&B_{k}&C_{k}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&&&A_{n-1}&B_{n-1}&C_{n-1}\\0&&\cdots &&&A_{n}&B_{n}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4885856acd34156daf97f6b8dd39708d375384f8)
де Ak, Bk та Ck - квадратні підматриці нижньої, головної та вищої діагоналі відповідно.
Блочні тридіагональні матриці зустрічаються при розв'язанні інженерних задач (наприклад в обчислювальній гідродинаміці). Існують оптимізовані чисельні методи для LU-розкладу, і відповідно ефективні алгоритми розв'язку систем рівнянь з матрицею кофіцієнтів, яка є блочною тридіагональною матрицею. Алгоритм Томаса, який використовується для ефективного розв'язку систем рівнянь з тридіагональною матрицею також може застосовуватись при використанні матричних операцій до блочних тридіагональних матриць.
Для довільних матриць A (розміру m×n) та B (розміру p×q), прямою сумою (позначається A
B) буде матриця
![{\displaystyle A\oplus B={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\cdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44c44048d0180b293fc213f32cf137ad84f38701)
Наприклад:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{pmatrix}}\oplus {\begin{pmatrix}1&6\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/020a95ce19ca908503bb84eb599005c4654eedba)
Ця операція узагальнюється на масиви довільної розмірності (не потрібно щоб A та B мали однакову розмірність).