Повна теорія

У математичній логіці, теорія є повна, якщо всі формули або її заперечення є доказовими. Рекурсивні аксіоматизовні теорії першого порядку, яких досить багато, які дозволяють сформулювати загальні математичні міркування, не може бути повними, що є наслідком теорем Геделя про неповноту.

Це значення повноти відрізняється від поняття повної логіки, яка означає, що для кожної теорії, яка може бути сформульована в логіці, будь-яке семантично допустиме твердження є доказовою теоремою на базі аксіом (для відповідного значення "семантично допустимий"). Теорема Геделя про повноту розглядає саме такий тип повноти і стверджуж, що логіка першого порядку є повною.

Повні теорії закриті за низки умов всередині моделювання Т-схеми:

• Для набору $S\!$: $A\land B\in S$ тоді і тільки тоді, коли $A\in S$ і $B\in S$,

• Для набору $S\!$: $A\lor B\in S$ тоді і тільки тоді, коли $A\in S$ або $B\in S$.

Максимальні послідовні набори є основним інструментом в теорії моделей класичної логіки і модальної логіки. Їх існування в даному випадку, як правило, є прямим наслідком Леми Цорна, заснована на ідеї про те, що протиріччя передбачає використання лише кінцеве число приміщень. У разі модальних логік, сукупність максимальних узгоджених множин, що проходять теорію T (закрито під правила посилення) може бути задана структурою моделі T , називається канонічної моделлю.

Приклади

Деякі приклади повних теорій є:

• Арифметика Пресбургера
• Аксіоми Тарского для Евклідової геометрії
• Теорія щільних лінійних порядків
• Теорія алгебраїчних замкнених полів даної характеристики
• Теорія матеріально замкнутих полів
• Кожен незліченну категоричні рахункова теорія
• Кожен лічильно категоричній рахункова теорія

Дивись також

• Łoś–Vaught test

Посилання

• Mendelson, Elliott (1997). Introduction to Mathematical Logic (вид. Fourth). Chapman & Hall. с. 86. ISBN 978-0-412-80830-2.