Перевірка статистичних гіпотез

Перевірка статистичних гіпотез — клас базових задач в математичній статистиці.

Статистичні гіпотези

Визначення

Нехай у (статистичному) експерименті спостерігається реалізація $X_1, X_2, \dots X_n$ деякої випадкової величини $X$, розподіл якої $\mathbb{P}$ невідомий повністю чи частково. Тоді будь-яке твердження, що стосується $\mathbb{P}$, називається статистичною гіпотезою. Гіпотези розрізняються за видом припущень, що містяться в них:

• Статистична гіпотеза, що однозначно визначає розподіл $\mathbb{P}$, тобто $H:\;\{\mathbb{P}= \mathbb{P}_0\}$, де $\mathbb{P}_0$ якийсь конкретний закон, що має назву простий.
• Статистична гіпотеза, що стверджує, що розподіл $\mathbb{P}$ належить до деякої сім'ї розподілів, тобто виду $H:\;\{\mathbb{P}\in \mathcal{P}\}$, де $\mathcal{P}$ — сім'ю розподілів, що має назву складна.

На практиці зазвичай потрібно перевірити якусь конкретну і, як правило, просту гіпотезу $H_0$. Таку гіпотезу прийнято називати нульовою. При цьому паралельно розглядається гіпотеза, що протирічить їй $H_1$, що називається конкуруючою або альтернативною.

Висунута гіпотеза потребує перевірки, яка здійснюється статистичними методами, тому гіпотезу називають статистичною. Для перевірки гіпотези використовують критерії, що дозволяють прийняти або спростувати гіпотезу.

В більшості випадків статистичні критерії засновані на випадковій вибірці $(X_1,X_2,\dots,X_n)$ фіксованого об'єму $n\geq 1$ з розподілу $\mathbb P$. У послідовному аналізі вибірка формується в ході самого експерименту і тому її об'єм є випадковим величиною.

Приклад

Нехай дано незалежну вибірку $(X_1,\ldots,X_n) \sim \mathcal{N}(\mu, 1)$ з нормального розподілу, де $\mu$ — невідомий параметр. Тоді $H_0:\;\{\mu = \mu_0\}$, де $\mu_0$ — фіксована стала, є простою гіпотезою, а альтернативна до неї $H_1:\;\{\mu > \mu_0\}$ — складною.

Етапи перевірки статистичних гіпотез

1. Формулювання основної гіпотези $H_0$ і конкуруючої гіпотези $H_1$. Гіпотези повинні бути чітко формалізовані в математичних термінах.
2. Задання вірогідності $\alpha$, що називається рівнем значущості і що відповідає помилкам першого роду, на якому надалі і буде зроблений висновок про правдивість гіпотези.
3. Розрахунок статистики $\phi$ критерію такий, що:
   • її величина залежить від початкової вибірки $\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n): \; \phi=\phi(X_1,\ldots,X_n)$;
   • за її значенням можна зробити висновки про істинність гіпотези $H_0$;
   • сама статистика $\phi$ повинна підкорятися якомусь невідомому закону розподілу, так як сама $\phi$ є випадковою в силу випадковості $\mathbf{X}$.
4. Побудова критичної області. З області значень $\phi$ виділяємо підмножину $\mathbb{C}$ таких значень, за якими можна судити про суттєвість розбіжностей з припущенням. Її розмір вибирається таким чином, щоб виконувалась рівність $P(\phi\in\mathbb{C})=\alpha$. Ця множина $\mathbb{C}$ і називається критичною областю.
5. Висновок про істинність гіпотези. Спостережувані значення вибірки підставляються в статистику $\phi$ і за попаданням (або непопаданням) у критичну область $\mathbb{C}$ виноситься ухвала про відкидання (або ухвалення) висунутої гіпотези $H_0$.

Види критичної області

• Двобічна критична область визначається двома інтервалами $(-\infty,\;x_{\alpha/2})\cup(x_{1-\alpha/2}\;+\infty)$, де $x_{\alpha/2},\; x_{1-\alpha/2}$ знаходять з умов $P(\phi<x_{\alpha/2})=\frac{\alpha}{2}, \quad P(\phi<x_{1-\alpha/2})=1-\frac{\alpha}{2}$.
• Лівобічна критична область визначається інтервалом $(-\infty,\; x_\alpha)$, де $x_\alpha$ знаходять з умови $P(\phi<x_\alpha)=\alpha$.
• Правобічна критична область визначається інтервалом $(x_{1-\alpha},\;+\infty)$, де $x_{1-\alpha}$ знаходять з умови $P(\phi<x_{1-\alpha})=1-\alpha$.

Дивіться також

• Похибки першого і другого роду
• Статистичний критерій
• Статистична значущість