Момент (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Моме́нт випадкової величини́ — числова характеристика розподілу даної випадкової величини.

Означення[ред.ред. код]

Якщо дана випадкова величина \displaystyle X, визначена на деякому імовірнісному просторі, то центра́льним моментом (k -го порядку) випадкової величини \displaystyle X називається величина

\mu_k = \mathbb{E}\left[(X - \mathbb{E}X)^k\right],

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

Початковим моментом k-го порядку називається величина:

\nu_k = \mathbb{E}\left[X^k\right],

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

\displaystyle k-им факторіальним моментом випадкової величини \displaystyle X називається величина
\mu_k = \mathbb{E}\left[X(X-1)...(X-k+1)\right],

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

Зауваження[ред.ред. код]

Враховуючи лінійність математичного сподівання центральні моменти можна виразити через початкові, і навпаки. Наприклад:

\displaystyle \mu_1 = 0,
\displaystyle \mu_2 = \nu_2-\nu_1^2,
\displaystyle \mu_3 = \nu_3-3\nu_1 \nu_2 + 2 \nu_1^3,
\displaystyle \mu_4 = \nu_4 - 4 \nu_1 \nu_3 + 6 \nu_1^2 \nu_2 - 3 \nu_1^4, і т. д.

Геометрична інтерпретація деяких моментів[ред.ред. код]

  • \displaystyle \nu_1 дорівнює математичному сподіванню випадкової величини і показує відносне розташування розподілу на числовій прямій.
  • \displaystyle \mu_2 дорівнює дисперсії розподілу випадкової величини \displaystyle (\mu_2=\sigma^2) і показує розкид розподілу довкола середнього значення.
  • \displaystyle \mu_3, будучи відповідним чином нормалізований є числовою характеристикою симетрії розподілу. Точніше, вираз
 \gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}
називається коефіцієнтом асиметрії.
  • \displaystyle \mu_4 контролює, наскільки яскраво виражена верхівка розподілу в околі математичного сподівання. Величина
\gamma_2=\frac{\mu_4}{\sigma^4}-3
називається коефіцієнтом ексцесу розподілу в.в. \displaystyle X.

Обчислення моментів[ред.ред. код]

\nu_k = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^k\, f(x)\, dx,

якщо

 \nu_k = \int\limits_{-\infty}^{\infty} |x|^k\, f(x)\, dx<{+\infty},


а для дискретних розподілів із функцією ймовірностей \displaystyle p(x):


\nu_k = \sum\limits_{x} x^k\, p(x),


якщо \nu_k = \sum\limits_{x} |x|^k\, p(x)<{+\infty}.

\nu_k = \left.-i^k \frac{d^k}{dt^k} \varphi(t)\right\vert_{t=0}.
  • Якщо розподіл такий, що для нього в деякому околі нуля визначена твірна функція моментів, \displaystyle M_X(t),, то початкові моменти можна обчислити використовуючи наступну формулу:
\nu_k = \left.\frac{d^k}{dt^k}M_X(t)\right\vert_{t=0}.

Можна також розглядати моменти в.в. для значень k, що не є цілими числами. Такий момент, момент, що розглядується як функція від дісного аргументу k, називається перетворення Мелліна.

Можна розглянути моменти багатовимірної випадкової величини. Тоді перший момент буде вектором тієї ж розмірності, другий — тензором другого порядку (див. матриця коваріації) над простором тієї ж розмірності (хоча можна розглянути і слід цієї матриці, що дає скалярне узагальнення дисперсії). Ітд.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Сеньо П. С. (2004). «Розділ 4.3». Теорія ймовірностей та математична статистика (вид. 1-e). Київ: Центр навчальної літератури. с. 448.