Метод головних компонент

Ме́тод головни́х компоне́нт (МГК) — метод факторного аналізу в статистиці.

Історія

МГК був запропонований Пірсоном в 1901 та доповнений і розширений Хоттелингом в 1933.

Загальна характеристика

Схема математичних перетворень. На малюнку позначення: X — матриця вихідних даних розмірністю n×m (n — число об'єктів спостереження, m — число елементарних аналітичних ознак); Z — матриця центрованих і нормованих значень ознак; R — матриця парних кореляцій. Λ — діагональна матриця власних (характеристичних) чисел. A — матриця факторного відображення, її елементи a_rj — вагові коефіцієнти. Спочатку A має розмірність m*m — за кількістю елементарних ознак Xj, потім в аналізі залишається r найвагоміших компонент, r ≤ m. Обчислюють матрицю A по відомих даним матриці власних чисел Λ і нормованих власних векторах V за формулою A = VΛ^1/2. F — матриця значень головних компонент розмірністю r×n.

Метод головних компонент (МГК, в англомовній літературі — principal component analysis, PCA) — один з найбільш розповсюджених методів факторного аналізу. МГК широко представлений у літературних джерелах, звернувшись до яких можна одержати відомості про метод головних компонент з різним ступенем деталізації й математичної строгості.

Серед інших подібних методів, що дозволяють узагальнювати значення елементарних ознак, МГК виділяється простою логічною конструкцією, й у той же час на його прикладі стають зрозумілими загальна ідея й цілі численних методів факторного аналізу.

Метод головних компонент дає можливість по m — числу вихідних ознак виділити m головних компонент, або узагальнених ознак. Простір головних компонент ортогональний. Математична модель методу головних компонент базується на логічному припущенні, що значення множини взаємозалежних ознак породжують деякий загальний результат.

Розв'язування завдання методом головних компонент зводиться до поетапного перетворення матриці вихідних даних X.