Теорема Пікара — Лінделефа

Диференціальні рівняння
Види рівнянь Звичайні З частинними похідними Лінійні Нелінійні Автономні Алгебраїчні Диференціально-алгебраїчні Інтегро-диференціальні Однорідні Рівняння в повних диференціалах Стохастичні З запізненням
Загальні теми Фазовий простір Інтегральна крива Теорема Пікара — Лінделефа Фазовий портрет Диференціальний оператор Визначник Вронського Стійкість Чисельне інтегрування Фундаментальна матриця
Методи розв'язання Метод характеристик Розділення змінних Знижування порядку Інтегрувальний множник Метод невизначених коефіцієнтів Метод варіації параметрів Метод Ейлера Метод Рунге — Кутти Метод Адамса Метод скінченних різниць Метод Кранка-Ніколсон Метод скінченних елементів Метод Гальоркіна Інтегральне перетворення Теорія збурень
Відомі рівняння Рівняння Лотки-Вольтерри Дивний атрактор Лоренца Рівняння Дуффінга Осцилятор Ван дер Поля Система Хенона-Гейлса Рівняння Ріккаті Хвильове рівняння Рівняння Лапласа Рівняння дифузії Рівняння Бюргерса Рівняння Нав'є — Стокса Рівняння Гамільтона — Якобі Рівняння Коші-Ейлера Рівняння Бернуллі Модель Годжкіна — Гакслі Схема Чуа Атрактор Рьослера Модель Курамото
Математики Ісаак Ньютон Ґотфрід Лейбніц Леонард Ейлер П'єр-Симон Лаплас Жозеф Ліувілль Жозеф-Луї Лагранж Анрі Пуанкаре Рудольф Ліпшиц Олександр Ляпунов Еміль Пікар Карл Рунге Джон Кранк

Теорема Пікара — Лінделефа — математична теорема про існування і єдиність розв'язку задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку.

Твердження

Нехай маємо звичайне диференціальне рівняння:

$y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0}.$

Нехай функція у правій частині $f:\Pi \to \mathbb {R}$ визначена у деякому прямокутнику $\Pi :=\{(t,y)\in \mathbb {R} ^{2}:|t-t_{0}|\leqslant a,|y-y_{0}|\leqslant b\}$ є неперервною по першому аргументу і задовольняє умову Ліпшіца щодо другого аргументу, тобто існує додатне число L, що для будь-яких точок (t, y^*) і (t, y^**) з прямокутника $\Pi$ виконується умова:

$|f(t,y^{*})-f(t,y^{**})|\leqslant L|y^{*}-y^{**}|.$

Тоді на відрізку $t\in [t_{0}-\epsilon ,t_{0}+\epsilon ],$ де $\epsilon :=\min \left(a,{\frac {b}{M}}\right),\,M:=\max _{(t,y)\in \Pi }|f(t,y)|$ задача Коші має єдиний розв'язок.

Література

• Самойленко А. М., Перестюк М. О., Парасюк I.О. Диференціальні рівняння: Підручник. — К.: Либідь, 2003 р. — 600с