Адитивна теорія чисел

Адитивна теорія чисел — розділ теорії чисел, що виник під час вивчення задач про розкладання цілих чисел на складові заданого вигляду (наприклад, на прості числа, фігурні числа, $n-$і степені тощо).

Серед класичних проблем, дослідження яких заклало фундамент адитивної теорії чисел, можна назвати такі:

• Задача про подання числа сумою чотирьох квадратів та її узагальнення: теорема Ферма про багатокутні числа.
• Задача про подання простого числа у вигляді суми двох квадратів.
• Проблема Гольдбаха.
• Проблема Воринга.
• Гіпотези Поллока.

Сучасна адитивна теорія чисел включає широке коло задач дослідження абелевих груп і комутативних напівгруп з операцією додавання. Адитивна теорія чисел тісно пов'язана з комбінаторною теорією чисел (особливо з адитивною комбінаторикою) і з геометрією чисел, у ній застосовуються аналітичні, алгебричні й імовірнісні методи. В залежності від методів розв'язування, адитивні задачі входять складовою частиною в інші розділи теорії чисел — аналітичну теорію чисел, теорію алгебричних чисел, вероятностную теорию чисел.

Історія

Перші систематичні результати в адитивній теорії чисел отримав Леонард Ейлер, який опублікував у 1748 році дослідження (за допомогою степеневих рядів) розкладання натуральних чисел на натуральні доданки; зокрема, він розглянув задачу про розкладання числа на задану кількість доданків і довів теорему про п'ятикутні числа. У цей же період виникли дві класичні проблеми адитивного типу: проблема Гольдбаха і проблема Воринга, надалі з'явилися десятки нових проблем. Їх вирішення ускладнюється тим, що у формулюваннях одночасно беруть участь кілька базових операцій над натуральними числами — ділення, за допомогою якого визначаються прості числа, множення, яке формує квадрати, куби тощо і додавання.

Для багатьох із цих проблем виявилися корисними такі загальні інструменти, як коловий метод Гарді – Літтлвуда, метод решета та метод тригонометричних сум В. М. Виноградова. Гільберт довів, що для будь-якого цілого числа $k>1$ будь-яке натуральне число є сумою обмеженого числа доданків у степені $k$. Лев Шнірельман у 1930 році ввів поняття щільності послідовності натуральних чисел, що дозволило істотно просунутися у вирішенні проблеми Гольдбаха і довести узагальнену теорему Воринга.

Григорій Фрейман 1964 року довів важливу теорему з галузі адитивної комбінаторики.

Сучасний стан

Підмножина $B$ називається (асимптотичним) адитивним базисом скінченного порядку $h$, якщо будь-яке досить велике натуральне число $n$ можна записати як суму не більше ніж $h$ елементів $B$. Наприклад, натуральні числа самі є адитивним базисом порядку 1, оскільки кожне натуральне число тривіально є сумою не більше ніж одного натурального числа. Менш тривіальна теорема Лагранжа про суму чотирьох квадратів, яка показала, що множина квадратних чисел є адитивним базисом четвертого порядку. Інший вельми нетривіальний і широко відомий результат у цьому напрямку — теорема Виноградова про те, що будь-яке досить велике непарне натуральне число можна подати як суму трьох простих чисел.

Багато сучасних досліджень у цій галузі стосуються загальних властивостей асимптотичних базисів скінченного порядку. Наприклад, множина $A$ називається мінімальним асимптотичних базисом порядку $h,$ якщо $A$ є асимптотичним базисом порядку $h$, але ніяка власна підмножина $A$ не є асимптотичним базисом порядку $h$. Доведено, що мінімальні асимптотичні базиси порядку $h$ існують для будь-якого $h$, а також існують асимптотичні базиси порядку $h$, що не містять мінімальних асимптотичних базисів порядку $h$.

Розглядається також проблема — наскільки можна зменшити кількість подань $n$ у вигляді суми $h$ елементів асимптотичного базису. Цьому присвячена досі не доведена гіпотеза Ердеша — Турана (1941).

Див. також

• Композиція числа
• Мультиплікативна теорія чисел
• Розбиття числа

Література

• Аддитивная теория чисел // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М. : Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1.
• Бухштаб А. А. Проблемы аддитивной теории простых чисел // Теория чисел. — М. : Просвещение, 1966. — 384 с.
• Гельфанд А. О., Линник Ю. В. Аддитивные свойства чисел // Элементарные методы в аналитической теории чисел. — М. : Физматгиз, 1962. — 272 с.
• Метод решета // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М. : Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4.
• Постников А. Г. Введение в аналитическую теорию чисел. — М. : Наука, 1971. — 416 с.
• Шнирельман Л. Г. Об аддитивных свойствах чисел // Успехи математических наук. — 1939. — № 6 (4 листопада). — С. 9—25.
• Henry Mann (1976). Addition Theorems: The Addition Theorems of Group Theory and Number Theory (вид. Corrected reprint of 1965 Wiley). Huntington, New York: Robert E. Krieger Publishing Company. ISBN 0-88275-418-1.
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: The Classical Bases. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94656-X.
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94655-1.
• Tao, Terence; Vu, Van (2006). Additive Combinatorics. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 105. Cambridge University Press.

Посилання

• Бредіхін Б. М. Additive number theory, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. Адитивна теорія чисел(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.