Правильний трикутник

Правильний трикутник
Тип	Правильний багатокутник
Властивості	Опуклий, рівносторонній
Елементи	3 ребра 3 вершини
Позначення
Символ Шлефлі	{3}
Діаграма Коксетера-Динкіна	або (x3o)
Група симетрії	D3, порядок 6 (Діедральна група)
Двоїстий	Самодвоїстий

Правильний трикутник (тригон від грец. τρεῖς - три та γωνία -кут) — трикутник, у якого всі сторони і кути рівні. Тому його також називають рівностороннім трикутником.

Також, правильний трикутник — геометрична фігура, правильний багатокутник з трьома сторонами.

Усі внутрішні кути правильного трикутника дорівнюють 60° (або $\pi$3 радіан).

Правильний трикутник має три ліній дзеркальної симетрії, що проходять через його висоти, і обертову симетрію 3-го порядку навколо центра О (на кути 60°, 120° і 360°), тобто група рухів (самосуміщень) площини для правильного трикутника складається з 6 елементів.

Формули

Нехай сторона правильного трикутника дорівнює $a$. Тоді:

Периметр: $P=3a\,\!$;

Висота трикутника ‒ відстань від вершини до протилежної сторони: $h={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot a=3\cdot r={\frac {3}{2}}\cdot R$;

$h=r+R$

Апофема ‒ відстань від центру до сторони: $a_{p}=r={\frac {1}{3}}\cdot h$

Радіус вписаного кола (дотикається до всіх його сторін):

$r={\frac {\sqrt {3}}{6}}\cdot a={\frac {1}{2}}\cdot R={\frac {1}{3}}\cdot h$;

Радіус описаного кола ‒ проходить через всі його вершини:

$R={\frac {\sqrt {3}}{3}}\cdot a=2\cdot r={\frac {2}{3}}\cdot h$

Радіус зовнівписаного кола ‒ дотикається до сторони та продовження двох інших сторін:

$r_{a}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot a=3\cdot r={\frac {3}{2}}\cdot R=h$

Площа правильного трикутника: $S={\frac {\sqrt {3}}{4}}\cdot a^{2}=3{\sqrt {3}}\cdot r^{2}={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\cdot R^{2}={\frac {\sqrt {3}}{3}}\cdot h^{2}$

Усі ці формули можна вивести з теореми Піфагора.

Властивості

• Правильний трикутник має всі властивості, притаманні правильному багатокутнику та трикутнику.
• Правильний трикутник є одночасно і рівностороннім і рівнокутним (за визначенням).
• В правильному трикутнику його висоти співпадають з його медіанами та бісектрисами кутів. Висоти, медіани та бісектриси перетинаються в одній точці - центрі правильного трикутника, яка лежить на його висоті на відстані 13 h від основи, тобто точкою перетину діляться у відношенні $1:2$ від основи.
• Центри вписаного та описаного кола співпадають і лежать в центрі правильного трикутника.
• В правильному трикутнику всі чудові точки трикутника знаходяться в його геометричному центрі. Це означає, що рівносторонній трикутник є єдиним трикутником, у якого немає лінії Ейлера.
  • Трикутник є рівностороннім, якщо співпадають будь-які два з його центрів:центр описаного кола, інцентр (центр вписаного кола), центроїд або ортоцентр.^:стор.37
  • Він також є рівностороннім, якщо його центр описаного кола збігається з точкою Наґеля або якщо його центр вписаного кола збігається з центром кола дев’яти точок.
• В правильному трикутнику коло дев'яти точок збігається з вписаним колом.
• Правильні трикутники є гранями для 8 опуклих багатогранників: трьох тіл Платона (правильного тетраедра, октаедра та ікосаедра), а також п'яти тіл Джонсона. Багатогранники, всі грані яких - правильні трикутники, називаються дельтаедрами.
• Також правильний трикутник є гранню для одного тіла Кеплера-Пуансо, а саме великого ікосаедра.
• Правильний трикутник ‒ один із двох правильних багатокутників, що не має зірчастої форми; інший — квадрат.

Паркет з рівносторонніх трикутників

• Правильними трикутниками можна замостити площину без проміжків та накладень. Також в усіх напівправильних мозаїках присутній рівносторонній трикутник .
• Правильний трикутник є першим в нескінченній родині правильних багатокутників, та третім в нескінченному сімействі n- симплексів, при n = 2.

Теореми, пов'язані з правильним трикутником

• Теорема Вівіані:

У будь-якому рівносторонньому трикутнику ABC сума відстаней від будь-якої внутрішньої точки трикутника до його сторін дорівнює висоті трикутника.

• Теорема Морлі:

Точки перетину суміжних трисектрис кутів довільного трикутника є вершинами рівностороннього трикутника.

• Теорема Наполеона:

Якщо на кожній стороні трикутника побудувати рівносторонній трикутник (або всі три назовні, або всі три всередину), то їхні центри будуть вершинами іншого рівностороннього трикутника.

• Теорема Помпею:

Для довільного рівностороннього трикутника $\scriptstyle ABC$ та довільної точки $\scriptstyle P$ в його площині відрізки $\scriptstyle PA$, $\scriptstyle PB$ та $\scriptstyle PC$ є сторонами трикутника (можливо, виродженого).

• Теореми Тебо 2 и 3
• Для будь-якого трикутника три медіани ділять трикутник на шість менших трикутників.
  1. Трикутник є рівностороннім тоді і тільки тоді, коли будь-які три менших трикутника мають однаковий периметр або однаковий радіус.^{:Теорема 1}
  2. Трикутник є рівностороннім тоді і тільки тоді, коли центри описаного кола будь-яких трьох менших трикутників знаходяться на однаковій відстані від центроїда.^{:Наслідок7}
• На плошині дано трикутник і довільну точку P.

$p$, $q$ , $r$ ‒ відстані від точки P до сторін трикутника; $x$, $y$ , $z$ ‒ відстані від точки P до вершин трикутника.

Трикутник є рівностороннім тоді і тільки тоді, коли для кожної точки P площини виконується нерівність: ^{:стор.178,#235.4}

$$4\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right)\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}.$$

Геометрична побудова

Креслення рівнобічного трикутника за допомогою циркуля та лінійки.

Рівносторонній трикутник можна накреслити за допомогою циркуля та лінійки. Для цього необхідно виконати такі дії:

1. Провести пряму та поставити на неї циркуль гострим кінцем;
2. Провести коло;
3. Поставити циркуль в одну із точок перетину кола та прямої, провести ще одне коло такого ж радіусу;
4. З'єднати прямими центри кіл та точку перетину цих кіл.

Альтернативний спосіб:

1. Накреслити коло довільного радіусу;
2. Поставити циркуль на це коло і накреслити ще одне коло такого ж радіусу;
3. Ці два кола перетинаються в двох точках, кожна з точок перетину разом із центрами кіл утворюють правильні трикутники.

Див. також

• Правильний многокутник
• Трикутник
• Трикутні числа
• Трикутний паркет

Джерела

• Бевз Г. П. Геометрія трикутника. — К.: Генеза, 2005. —120 с.: іл. — ISBN 966-504491-1
• Рівносторонній трикутник: означення, властивості, приклади

Посилання

• Politope Wiki. Triangle
• Weisstein, Eric W.Triangle. MathWorld.