Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Поліноміальний розподіл Параметри
n
>
0
{\displaystyle n>0}
p
1
,
…
p
k
{\displaystyle p_{1},\ldots p_{k}}
Σ
p
i
=
1
{\displaystyle \Sigma p_{i}=1}
Носій функції
X
i
∈
{
0
,
…
,
n
}
{\displaystyle X_{i}\in \{0,\dots ,n\}}
Σ
X
i
=
n
{\displaystyle \Sigma X_{i}=n\!}
Розподіл імовірностей
n
!
x
1
!
⋯
x
k
!
p
1
x
1
⋯
p
k
x
k
{\displaystyle {\frac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}}
Середнє
E
{
X
i
}
=
n
p
i
{\displaystyle E\{X_{i}\}=np_{i}}
Дисперсія
V
a
r
(
X
i
)
=
n
p
i
(
1
−
p
i
)
{\displaystyle {\mathrm {Var} }(X_{i})=np_{i}(1-p_{i})}
C
o
v
(
X
i
,
X
j
)
=
−
n
p
i
p
j
{\displaystyle {\mathrm {Cov} }(X_{i},X_{j})=-np_{i}p_{j}}
i
≠
j
{\displaystyle i\neq j}
Твірна функція моментів (mgf)
(
∑
i
=
1
k
p
i
e
t
i
)
n
{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{k}p_{i}e^{t_{i}}\right)^{n}}
У теорії імовірностей поліноміальний розподіл є узагальненням біноміального розподілу.
Біноміальний розподіл є розподілом ймовірностей числа успіхів у незалежній схемі випробувань Бернуллі, з тією ж самою імовірністю успіху в кожному випробуванні.
Означення Нехай
X
1
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}
незалежні однаково розподілені випадкові величини , такі, що їх розподіл задається
функцією імовірності :
P
(
X
i
=
j
)
=
p
j
,
j
=
1
,
…
,
k
{\displaystyle \mathbb {P} (X_{i}=j)=p_{j},\;j=1,\ldots ,k}
Інтуїтивно подія
{
X
i
=
j
}
{\displaystyle \{X_{i}=j\}}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
Y
j
{\displaystyle Y_{j}}
j
{\displaystyle j}
Y
j
=
∑
i
=
1
n
1
{
X
i
=
j
}
,
j
=
1
,
…
,
k
{\displaystyle Y_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{X_{i}=j\}},\;j=1,\ldots ,k}
Тоді розподіл вектора
Y
=
(
Y
1
,
…
,
Y
k
)
⊤
{\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{k})^{\top }}
p
Y
(
y
)
=
{
(
n
y
1
…
y
k
)
p
1
y
1
…
p
k
y
k
,
∑
j
=
1
k
y
i
=
n
0
,
∑
j
=
1
k
y
i
≠
n
,
y
=
(
y
1
,
…
,
y
k
)
⊤
∈
N
0
k
{\displaystyle p_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )=\left\{{\begin{matrix}{n \choose {y_{1}\ldots y_{k}}}p_{1}^{y_{1}}\ldots p_{k}^{y_{k}},&\sum \limits _{j=1}^{k}y_{i}=n\\0,&\sum \limits _{j=1}^{k}y_{i}\not =n\end{matrix}}\right.,\quad \mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{k})^{\top }\in \mathbb {N} _{0}^{k}}
де
(
n
y
1
…
y
k
)
≡
n
!
y
1
!
…
y
k
!
{\displaystyle {n \choose {y_{1}\ldots y_{k}}}\equiv {\frac {n!}{y_{1}!\ldots y_{k}!}}}
мультиноміальний коефіцієнт .
Вектор середніх і матриця коваріації Математичне сподівання випадкової величини
Y
j
{\displaystyle Y_{j}}
E
[
Y
j
]
=
n
p
j
{\displaystyle \mathbb {E} [Y_{j}]=np_{j}}
матриці коваріації
Σ
=
(
σ
i
j
)
{\displaystyle \Sigma =(\sigma _{ij})}
дисперсіями
біноміальних випадкових величин, а тому
σ
j
j
=
D
[
Y
j
]
=
n
p
j
(
1
−
p
j
)
,
j
=
1
,
…
,
k
{\displaystyle \sigma _{jj}=\mathrm {D} [Y_{j}]=np_{j}(1-p_{j}),\;j=1,\ldots ,k}
Для інших елементів маємо
σ
i
j
=
c
o
v
(
Y
i
,
Y
j
)
=
−
n
p
i
p
j
,
i
≠
j
{\displaystyle \sigma _{ij}=\mathrm {cov} (Y_{i},Y_{j})=-np_{i}p_{j},\;i\not =j}
Ранг матриці коваріації мультиноміального розподілу дорівнює
k
−
1
{\displaystyle k-1}
Див. також Посилання Дискретні одновимірні
Дискретні одновимірні
Неперервні одновимірні
Неперервні одновимірні
Неперервні одновимірні
Неперервні одновимірні
Змішані
Багатовимірні (спільні)
Напрямкові
Вироджені та сингулярні [en]
Сімейства
![{\displaystyle \mathbb {E} [Y_{j}]=np_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d36e10e0c589c7fab5734e49f46371293309c99c)
![{\displaystyle \sigma _{jj}=\mathrm {D} [Y_{j}]=np_{j}(1-p_{j}),\;j=1,\ldots ,k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8188ceccfd66b78e002c4fd9c8b5f00a64be1981)
