Розподіл Коші

Розподіл Коші-Лоренца
Щільність розподілу Зелена лінія — стандартний розподіл Коші
Функція розподілу ймовірностей Кольори як і на попередньому малюнку
Параметри	$x_{0}\!$ параметр знаходження (дійсне) $\gamma >0\!$ масштаб (дісне)
Носій функції	$x\in (-\infty ;+\infty )\!$
Розподіл імовірностей	${\frac {1}{\pi \gamma \,\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\!$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	${\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}$
Середнє	не визначено
Медіана	$x_{0}$
Мода	$x_{0}$
Дисперсія	не визначено
Коефіцієнт асиметрії	не визначено
Коефіцієнт ексцесу	не визначено
Ентропія	$\ln(4\,\pi \,\gamma )\!$
Твірна функція моментів (mgf)	не визначено
Характеристична функція	$\exp(x_{0}\,i\,t-\gamma \,|t|)\!$

Крива Лоренца — функція однієї змінної $x$ з двома параметрами $x_{0}$ і $\gamma$

$f(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {\gamma }{(x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}}$.

Графіки функції при різних значеннях параметрів показані на рисунку праворуч. Оскільки крива зустрічається в багатьох областях науки вона має багато різних назв: лоренціан, функція Лоренца, розподіл Коші, розподіл Коші-Лоренца, розподіл Брейта-Вігнера.

Використовується для опису форми лінії в спектроскопії, часто зустрічається в фізиці, зокрема у квантовій механіці.

Властивості

• Функція має максимум при $x=x_{0}$. При $\gamma \rightarrow 0$ висота цього максимуму зростає до нескінченності, а ширина зменшується до нуля. Тому криву Лоренца часто використовують як наближення до дельта-функції.

$\lim _{\gamma \rightarrow 0}f(x)=\delta (x-x_{0})$.

• Розподіл Коші є безмежно подільним.
• Розподіл Коші є стійким.

Інтеграли

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi }}{\frac {\gamma dx}{(x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}}=1$

Див. також

• Розподіл Лоренца

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)