Розподіл Коші

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Розподіл Коші-Лоренца
Щільність розподілу
Щільність розподілу Коші-Лоренца
Зелена лінія — стандартний розподіл Коші
Функція розподілу ймовірностей
Функція розподілу ймовірностей розподілу Коші
Кольори як і на попередньому малюнку
Параметри x_0\! параметр знаходження (дійсне)
\gamma > 0\! масштаб (дісне)
Носій функції x \in (-\infty; +\infty)\!
Розподіл ймовірностей \frac{1}{\pi\gamma\,\left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} \!
Функція розподілу ймовірностей (cdf) \frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2}
Середнє не визначено
Медіана x_0
Мода x_0
Дисперсія не визначено
Коефіцієнт асиметрії не визначено
Коефіцієнт ексцесу не визначено
Ентропія \ln(4\,\pi\,\gamma)\!
Твірна функція моментів (mgf) не визначено
Характеристична функція \exp(x_0\,i\,t-\gamma\,|t|)\!

Крива Лоренца — функція однієї змінної x з двома параметрами  x_0 і  \gamma

 f(x) = \frac{1}{\pi} \frac{\gamma}{ (x-x_0)^2 + \gamma^2} .

Графіки функції при різних значеннях параметрів показані на рисунку праворуч. Оскільки крива зустрічається в багатьох областях науки вона має багато різних назв: лоренціан, функція Лоренца, розподіл Коші, розподіл Коші-Лоренца, розподіл Брейта-Вігнера.

Використовується для опису форми лінії в спектроскопії, часто зустрічається в фізиці, зокрема у квантовій механіці.

Властивості[ред.ред. код]

Функція має максимум при  x = x_0 . При \gamma \rightarrow 0 висота цього максимуму зростає до нескінченності, а ширина зменшується до нуля. Тому крива Лоренца часто використовується як наближення до дельта-функції.

 \lim_{\gamma \rightarrow 0} f(x) = \delta (x-x_0) .

Інтеграли[ред.ред. код]

\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{\pi} \frac{\gamma dx}{ (x-x_0)^2 + \gamma^2} = 1

Дивіться також[ред.ред. код]

Bvn-small.png        Розподіли ймовірності
Одновимірні Багатовимірні
Дискретні: Бернуллі | біноміальний | геометричний | гіпергеометричний | логарифмічний | від'ємний біноміальний | Пуассона | рівномірний поліноміальний
Абсолютно неперервні: Бета | Вейбулла | Гамма | гіперекспоненційний | Колмогорова | Коші | Лапласа | Леві | логістичний | логнормальний | нормальний (Гауса) | Парето | рівномірний | Райса | Релея | Стьюдента | Фішера | хі-квадрат | експоненційний | багатовимірний нормальний


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.