Поліноміальний розподіл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Поліноміальний розподіл
Щільність розподілу
Функція розподілу ймовірностей
Параметри n > 0
p_1, \ldots p_k (\Sigma p_i = 1)
Носій функції X_i \in \{0,\dots,n\}
\Sigma X_i = n\!
Розподіл ймовірностей \frac{n!}{x_1!\cdots x_k!} p_1^{x_1} \cdots p_k^{x_k}
Функція розподілу ймовірностей (cdf)
Середнє E\{X_i\} = np_i
Медіана
Мода
Дисперсія {\mathrm{Var}}(X_i) = n p_i (1-p_i)
{\mathrm{Cov}}(X_i,X_j) = - n p_i p_j (i\neq j)
Коефіцієнт асиметрії
Коефіцієнт ексцесу
Ентропія
Твірна функція моментів (mgf) \left( \sum_{i=1}^k p_i e^{t_i} \right)^n

У теорії імовірностей поліноміальний розподіл є узагальненням біноміального розподілу. Біноміальний розподіл є розподілом ймовірностей числа успіхів у незалежній схемі випробувань Бернуллі, з тією ж самою імовірністю успіху в кожному випробуванні.

Означення[ред.ред. код]

Нехай X_1,\ldots, X_n — незалежні однаково розподілені випадкові величини, такі, що їх розподіл задається функцією імовірності:

\mathbb{P}(X_i = j) = p_j,\; j=1,\ldots, k.

Інтуїтивно подія \{X_i = j\} означає, що дослід з номером i привів до j. Нехай випадкова величина Y_j дорівнює кількості дослідів, що приводять до результату j:

Y_j = \sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{\{X_i = j\}},\; j = 1,\ldots, k.

Тоді розподіл вектора \mathbf{Y} = (Y_1,\ldots,Y_k)^{\top} Має функцію імовірності

p_{\mathbf{Y}}(\mathbf{y}) = \left\{
\begin{matrix}
{n \choose {y_1 \ldots y_k}} p_1^{y_1}\ldots p_k^{y_k}, & \sum\limits_{j=1}^k
y_i = n \\
0, & \sum\limits_{j=1}^k y_i \not= n
\end{matrix}
\right., \quad \mathbf{y} = (y_1,\ldots, y_k)^{\top} \in \mathbb{N}^k_0,

де

{n \choose {y_1 \ldots y_k}} \equiv \frac{n!}{y_1! \ldots y_k!}

мультиноміальний коефіцієнт.

Вектор середніх і матриця коваріації[ред.ред. код]

Математичне сподівання випадкової величини Y_j має вигляд: \mathbb{E}[Y_j] = np_j. Діагональні елементи матриці коваріації \Sigma
= (\sigma_{ij}) є дисперсіями біноміальних випадкових величин, а тому

\sigma_{jj}=\mathrm{D}[Y_j] = np_j(1-p_j),\; j =1,\ldots, k.

Для інших елементів маємо

\sigma_{ij} = \mathrm{cov}(Y_i,Y_j) = -np_ip_j,\; i \not= j.

Ранг матриці коваріації мультиноміального розподілу дорівнює k-1.

Дивіться також[ред.ред. код]

Bvn-small.png        Розподіли ймовірності
Одновимірні Багатовимірні
Дискретні: Бернуллі | біноміальний | геометричний | гіпергеометричний | логарифмічний | від'ємний біноміальний | Пуассона | рівномірний поліноміальний
Абсолютно неперервні: Бета | Вейбулла | Гамма | гіперекспоненційний | Колмогорова | Коші | Лапласа | Леві | логістичний | логнормальний | нормальний (Гауса) | Парето | рівномірний | Райса | Релея | Стьюдента | Фішера | хі-квадрат | експоненційний | багатовимірний нормальний