Бета-розподіл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Функція ймовірностей
Функція розподілу
Функція розподілу ймовірностей
{{{cdf_image}}}
Параметри
Носій функції
Розподіл ймовірностей
Функція розподілу ймовірностей (cdf)
Середнє
Медіана
Мода для
Дисперсія
Коефіцієнт асиметрії
Коефіцієнт ексцесу
Ентропія
Твірна функція моментів (mgf)
Характеристична функція

Бе́та-розпо́діл в теорії імовірностей та статистиці — двопараметрична сім'я абсолютно неперервних розподілів.

Означення[ред.ред. код]

Нехай розподіл випадкової величини задаєтся густиною ймовірності , що має вигляд:

,

де

  • довільні фіксовані параметри, і
  •  — бета-функція.

Тоді випадкова величина має бета-розподіл. Пишуть: .

Форма графіка[ред.ред. код]

Форма графіка густини ймовірності бета-розподілу залежить від вибору параметрів і .

  •  — графік опуклий і прямує до нескінченності на границях (червона крива);
  • чи  — графік строго спадний (синя крива)
    •  — графік строго опуклий;
    •  — графік є прямою лінїєю;
    •  — графік строго ввігнутий;
  • графік збігається з графіком густини стандартного неперервного рівномірного розподілу;
  • або  — графік строго зростаючий (зелена крива);
    •  — графік строго опуклий;
    •  — графік є прямою линією;
    •  — графік строго ввігнутий;
  •  — график унімодальний[en] (пурпурова та чорна криві)

У випадку, коли , густина ймовірності симетична відносно (червона та пурпурова криві), то

.

Моменти[ред.ред. код]

Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини , що має бета-розподіл, мають такий вигляд:

,
.

Зв'язок з іншими розподілами[ред.ред. код]

Стандартний неперервний рівномірний розподіл є окремим випадком бета-розподілу:

 — незалежні гамма-розподілені випадкові величини, причому , а , то


Апріорний розподіл Голдейна[ред.ред. код]

: густина ймовірності апріорного розподілу Голдейна демонструє повну відсутність апріорної інформації про випадкову величину, де ми навіть не знаємо чи є можливим провести експеримент який дав би позитивний чи негативний резульат. Коли α, β → 0, розподіл наближається до розподілу Бернуллі в якому вся густина розподілу сконцентрована на кінцях, в 0 і 1, у вигляді дельта-функції Дірака, і нульова між ними.

Розподіл B(0,0) запропонував Джон Бердон Сандерсон Голдейн,[1] який зауважив що апріорна ймовірність що представляє повну непевність повинна бути пропорційною до p−1(1−p)−1. Функцію p−1(1−p)−1 можна розглядати як границю бета розподілу в якому обидва параметри наближаються до нуля, α, β → 0. Таким чином, p−1(1−p)−1 розділена на бета-функцію наближається до двоточкового розподілу Бернуллі в якому вся густина розподілу сконцентрована на кінцях, в 0 і 1, у вигляді дельта-функції Дірака, і нульова між ними. Це приклад розподілу ймовірностей для підкидання монети, якщо одна сторона - нуль, а інша - 1.


Зноски[ред.ред. код]

  1. Haldane, J.B.S. (1932). A note on inverse probability. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 28. с. 55–61. doi:10.1017/s0305004100010495. 

Посилання[ред.ред. код]


Статистика Це незавершена стаття зі статистики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.