Бета-розподіл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Бета-розподіл
Функція ймовірностей
Густина імовірності
Функція розподілу ймовірностей
Функція розподілу
Параметри
Носій функції
Розподіл ймовірностей
Функція розподілу ймовірностей (cdf)
Середнє
Медіана
Мода для
Дисперсія
Коефіцієнт асиметрії
Коефіцієнт ексцесу
Ентропія
Твірна функція моментів (mgf)
Характеристична функція

Бе́та-розпо́діл в теорії імовірностей та статистиці — двопараметрична сім'я абсолютно неперервних розподілів.

Означення[ред. | ред. код]

Нехай розподіл випадкової величини задаєтся густиною ймовірності , що має вигляд:

,

де

  • довільні фіксовані параметри, і
  •  — бета-функція.

Тоді випадкова величина має бета-розподіл. Пишуть: .

Форма графіка[ред. | ред. код]

Форма графіка густини ймовірності бета-розподілу залежить від вибору параметрів і .

  •  — графік опуклий і прямує до нескінченності на границях (червона крива);
  • чи  — графік строго спадний (синя крива)
    •  — графік строго опуклий;
    •  — графік є прямою лінїєю;
    •  — графік строго ввігнутий;
  • графік збігається з графіком густини стандартного неперервного рівномірного розподілу;
  • або  — графік строго зростаючий (зелена крива);
    •  — графік строго опуклий;
    •  — графік є прямою линією;
    •  — графік строго ввігнутий;
  •  — график унімодальний[en] (пурпурова та чорна криві)

У випадку, коли , густина ймовірності симетична відносно (червона та пурпурова криві), то

.

Моменти[ред. | ред. код]

Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини , що має бета-розподіл, мають такий вигляд:

,
.

Зв'язок з іншими розподілами[ред. | ред. код]

Стандартний неперервний рівномірний розподіл є окремим випадком бета-розподілу:

 — незалежні гамма-розподілені випадкові величини, причому , а , то


Апріорний розподіл Голдейна[ред. | ред. код]

: густина ймовірності апріорного розподілу Голдейна демонструє повну відсутність апріорної інформації про випадкову величину, де ми навіть не знаємо чи є можливим провести експеримент який дав би позитивний чи негативний резульат. Коли α, β → 0, розподіл наближається до розподілу Бернуллі в якому вся густина розподілу сконцентрована на кінцях, в 0 і 1, у вигляді дельта-функції Дірака, і нульова між ними.

Розподіл B(0,0) запропонував Джон Бердон Сандерсон Голдейн,[1] який зауважив що апріорна ймовірність що представляє повну непевність повинна бути пропорційною до p−1(1−p)−1. Функцію p−1(1−p)−1 можна розглядати як границю бета розподілу в якому обидва параметри наближаються до нуля, α, β → 0. Таким чином, p−1(1−p)−1 розділена на бета-функцію наближається до двоточкового розподілу Бернуллі в якому вся густина розподілу сконцентрована на кінцях, в 0 і 1, у вигляді дельта-функції Дірака, і нульова між ними. Це приклад розподілу ймовірностей для підкидання монети, якщо одна сторона - нуль, а інша - 1.


Примітки[ред. | ред. код]

  1. Haldane, J.B.S. (1932). A note on inverse probability. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 28: 55–61. doi:10.1017/s0305004100010495. 

Посилання[ред. | ред. код]