Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Вейбул (2-параметричний)
parameters =
λ
>
0
{\displaystyle \lambda >0\,}
scale (real )
k
>
0
{\displaystyle k>0\,}
shape (real)
Функція розподілу ймовірностей
Параметри
{{{parameters}}}
Носій функції
x
∈
[
0
;
+
∞
)
{\displaystyle x\in [0;+\infty )\,}
Розподіл ймовірностей
f
(
x
)
=
{
k
λ
(
x
λ
)
k
−
1
e
−
(
x
/
λ
)
k
x
⩾
0
0
x
<
0
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geqslant 0\\0&x<0\end{cases}}}
Функція розподілу ймовірностей (cdf)
1
−
e
−
(
x
/
λ
)
k
{\displaystyle 1-e^{-(x/\lambda )^{k}}}
Середнє
λ
Γ
(
1
+
1
k
)
{\displaystyle \lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,}
Медіана
λ
(
ln
(
2
)
)
1
/
k
{\displaystyle \lambda (\ln(2))^{1/k}\,}
Мода
λ
(
k
−
1
k
)
1
k
{\displaystyle \lambda \left({\frac {k-1}{k}}\right)^{\frac {1}{k}}\,}
k
>
1
{\displaystyle k>1}
Дисперсія
λ
2
Γ
(
1
+
2
k
)
−
μ
2
{\displaystyle \lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}\,}
Коефіцієнт асиметрії
Γ
(
1
+
3
k
)
λ
3
−
3
μ
σ
2
−
μ
3
σ
3
{\displaystyle {\frac {\Gamma (1+{\frac {3}{k}})\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}
Коефіцієнт ексцесу
(see text)
Ентропія
γ
(
1
−
1
k
)
+
ln
(
λ
k
)
+
1
{\displaystyle \gamma \left(1\!-\!{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1}
Твірна функція моментів (mgf)
∑
n
=
0
∞
t
n
λ
n
n
!
Γ
(
1
+
n
k
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right)}
Характеристична функція
∑
n
=
0
∞
(
i
t
)
n
λ
n
n
!
Γ
(
1
+
n
k
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right)}
Розподіл Вейбула (англ. Weibull distribution ) — неперервний розподіл ймовірностей. Названий на честь Валоді Вейбула (англ. Waloddi Weibull ), котрий навів детальне описання розподілу в 1951 році, хоча першим його відкрив Фреше (1927) а застосував Розін та Рамлєр в 1933 для опису розподілу розміру гранул. Функція щільності розподілу Вейбула x має вигляд:[1]
f
(
x
;
λ
,
k
)
=
{
k
λ
(
x
λ
)
k
−
1
e
−
(
x
/
λ
)
k
x
⩾
0
0
x
<
0
{\displaystyle f(x;\lambda ,k)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geqslant 0\\0&x<0\end{cases}}}
де
k
>
0
{\displaystyle k>0}
λ
>
0
{\displaystyle \lambda >0}
Нехай розподіл випадкової величини
X
{\displaystyle X}
щільністю
f
X
(
x
)
{\displaystyle f_{X}(x)}
f
X
(
x
)
=
{
k
λ
(
x
λ
)
k
−
1
e
−
(
x
λ
)
k
,
x
⩾
0
0
,
x
<
0
.
{\displaystyle f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k}},&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{matrix}}\right..}
Тоді говорять, що
X
{\displaystyle X}
X
∼
W
(
k
,
λ
)
{\displaystyle X\sim \mathrm {W} (k,\lambda )}
Моменти випадкової величини
X
{\displaystyle X}
E
[
X
n
]
=
λ
n
Γ
(
1
+
n
k
)
{\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{n}\right]=\lambda ^{n}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right)}
звідки
E
[
X
]
=
λ
Γ
(
1
+
1
k
)
{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)}
D
[
X
]
=
λ
2
[
Γ
(
1
+
2
k
)
−
Γ
2
(
1
+
1
k
)
]
{\displaystyle \mathrm {D} [X]=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\Gamma ^{2}\left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right]}
Зв'язок з іншими розподілами [ ред. | ред. код ]
E
x
p
(
λ
)
≡
W
(
1
,
1
λ
)
{\displaystyle \mathrm {Exp} (\lambda )\equiv \mathrm {W} \left(1,{\frac {1}{\lambda }}\right)}
Метод зворотного перетворення: якщо
U
∼
U
(
0
,
1
)
{\displaystyle U\sim \mathrm {U} (0,1)}
λ
(
−
ln
U
)
1
/
k
∼
W
(
k
,
λ
)
{\displaystyle \lambda \left(-\ln U\right)^{1/k}\sim \mathrm {W} (k,\lambda )}
↑ Papoulis, Pillai, "Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 4th Edition
Дискретні одновимірні
Дискретні одновимірні
Неперервні одновимірні
Неперервні одновимірні
Неперервні одновимірні
Неперервні одновимірні
Змішані
Багатовимірні (спільні)
Напрямкові [en]
Вироджені та сингулярні [en]
Сімейства
![{\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{n}\right]=\lambda ^{n}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46fb8367ef7972297993d2a732aa8b824d1e51d3)
![{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/833faa66f7240b37377d884cd6463f1a81053227)
![{\displaystyle \mathrm {D} [X]=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\Gamma ^{2}\left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dddf82ba733f14ae2b2be3aa22f1b7531257105)
