Розподіл Вейбула

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Вейбул (2-параметричний)

cdf_image =
 parameters =\lambda>0\, scale (real)
k>0\, shape (real)
Функція розподілу ймовірностей
{{{cdf_image}}}
Параметри {{{parameters}}}
Носій функції x \in [0; +\infty)\,
Розподіл ймовірностей f(x)=\begin{cases}
\frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^{k}} & x\geqslant 0\\
0 & x<0\end{cases}
Функція розподілу ймовірностей (cdf) 1- e^{-(x/\lambda)^k}
Середнє \lambda \Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\,
Медіана \lambda(\ln(2))^{1/k}\,
Мода \lambda \left(\frac{k-1}{k} \right)^{\frac{1}{k}}\, if k>1
Дисперсія \lambda^2\Gamma\left(1+\frac{2}{k}\right) - \mu^2\,
Коефіцієнт асиметрії \frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})\lambda^3-3\mu\sigma^2-\mu^3}{\sigma^3}
Коефіцієнт ексцесу (see text)
Ентропія \gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\ln\left(\frac{\lambda}{k}\right)+1
Твірна функція моментів (mgf) \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n\lambda^n}{n!}\Gamma\left(1+\frac{n}{k}\right)
Характеристична функція \sum_{n=0}^\infty \frac{(it)^n\lambda^n}{n!}\Gamma\left(1+\frac{n}{k}\right)

Розподіл Вейбула (англ. Weibull distribution) — неперервний розподіл ймовірностей. Названий на честь Валоді Вейбула (англ. Waloddi Weibull), котрий навів детальне описання розподілу в 1951 році, хоча першим його відкрив Фреше (1927) а застосував Розін та Рамлєр в 1933 для опису розподілу розміру гранул. Функція щільності розподілу Вейбула x має вигляд:[1]:

f(x;\lambda,k) =  \begin{cases}
\frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^{k}} & x\geqslant 0\\
0 & x<0\end{cases}

де k >0 визначає форму графіку, а \lambda >0 шкалу розподілу.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай розподіл випадкової величини X задається щільністю f_X(x), що має вид:

f_X(x) = \left\{
\begin{matrix}
\frac{k}{\lambda} \left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k}, & x \geqslant 0 \\
0, & x < 0
\end{matrix}
\right..

Тоді говорять, що X має розподіл Вейбулла. Пишуть: X \sim \mathrm{W}(k,\lambda).

Моменти[ред.ред. код]

Моменти випадкової величини X, що має розподіл Вейбулла мають вид

\mathbb{E}\left[X^n\right] = \lambda^n \Gamma\left(1 + \frac{n}{k}\right),

звідки

\mathbb{E}[X] = \lambda \Gamma\left(1 + \frac{1}{k}\right),
\mathrm{D}[X] = \lambda^2 \left[\Gamma\left(1 + \frac{2}{k}\right) - \Gamma^2\left(1 + \frac{1}{k}\right)\right].

Зв'язок з іншими розподілами[ред.ред. код]

\mathrm{Exp}(\lambda) \equiv \mathrm{W}\left(1, \frac{1}{\lambda}\right).
  • Метод зворотного перетворення: якщо U \sim \mathrm{U}(0,1), те
\lambda \left(-\ln U\right)^{1/k} \sim \mathrm{W}(k,\lambda).

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

  1. Papoulis, Pillai, "Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 4th Edition


Статистика Це незавершена стаття зі статистики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.