Логістичний розподіл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Логістичний розподіл

Standard logistic PDF
Функція розподілу ймовірностей
Standard logistic CDF
Параметри \mu\,
s>0\,
Носій функції x \in (-\infty; +\infty)\!
Розподіл ймовірностей \frac{e^{-(x-\mu)/s}} {s\left(1+e^{-(x-\mu)/s}\right)^2}\!
Функція розподілу ймовірностей (cdf) \frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/s}}\!
Середнє \mu\,
Медіана \mu\,
Мода \mu\,
Дисперсія \frac{\pi^2}{3} s^2\!
Коефіцієнт асиметрії 0\,
Коефіцієнт ексцесу 6/5\,
Ентропія \ln(s)+2\,
Твірна функція моментів (mgf) e^{\mu\,t}\,\mathrm{B}(1-s\,t,\;1+s\,t)\!
для |s\,t|<1\!, Бета функція
Характеристична функція e^{i \mu t}\,\mathrm{B}(1-ist,\;1+ist)\,
для |ist|<1\,

Логістичний розподілнеперервний ймовірнісний розподіл. Логістичний розподіл за формою нагадує нормальний розподіл, проте має більший коефіцієнт ексцесу.

Визначення розподілу[ред.ред. код]

Функція щільності розподілу[ред.ред. код]

Функція щільності (pdf) логістичного розподілу визначається за формулою:

f(x; \mu,s) = \frac{e^{-(x-\mu)/s}} {s\left(1+e^{-(x-\mu)/s}\right)^2} \!
=\frac{1}{4\,s} \;\operatorname{sech}^2\!\left(\frac{x-\mu}{2\,s}\right).

Альтернативно визначивши підстановку \sigma^2 = \pi^2\,s^2/3 одержується функція щільності:

g(x;\mu,\sigma) = f(x;\mu,\sigma\sqrt{3}/\pi) = \frac{\pi}{\sigma\,4\sqrt{3}} \,\operatorname{sech}^2\!\left(\frac{\pi}{2 \sqrt{3}} \,\frac{x-\mu}{\sigma}\right).

Функція розподілу[ред.ред. код]

Функцією розподілу логістичного розподілу є логістична функція:

F(x; \mu,s) = \frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/s}} \!
= \frac12 + \frac12 \;\operatorname{tanh}\!\left(\frac{x-\mu}{2\,s}\right).

Моменти розподілу[ред.ред. код]

Математичне сподівання[ред.ред. код]

E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} {\frac{xe^{-(x-\mu)/s}} {s\left(1+e^{-(x-\mu)/s}\right)^2}} \! dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{4\,s} \;\operatorname{sech}^2\!\left(\frac{x-\mu}{2\,s}\right)dx
Підставимо: u=\frac{(x-\mu)}{2s}, du=\frac{1}{2s} dx
E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2\,s\,u+\mu}{2} \;\operatorname{sech}^2\!\left(u\right)du
E[X]=s\int_{-\infty}^{\infty} u \;\operatorname{sech}^2\!\left(u\right)du + \frac{\mu}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \;\operatorname{sech}^2\!\left(u\right)du
Справедлива рівність: \int_{-\infty}^{\infty} u \;\operatorname{sech}^2\!\left(u\right)du = 0
E[X]=\frac{\mu}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \;\operatorname{sech}^2\!\left(u\right)du = \frac{\mu}{2}\,2 = \mu

Моменти вищих порядків[ред.ред. код]

Центральний момент n-го порядку може бути обчислений:

\begin{align}
    \operatorname{E}[(X-\mu)^n] 
      &= \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^n dF(x) = \int_0^1 \big(F^{-1}(p)-\mu\big)^n dp \\
      &= s^n \int_0^1 \Big[ \ln\!\Big(\frac{p}{1-p}\Big) \Big]^n \, dp. 
  \end{align}

Інтеграл може бути виражений через числа Бернуллі:


    \operatorname{E}[(X-\mu)^n] = s^n\pi^n(2^n-2)\cdot|B_n|.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • N., Balakrishnan (1992). Handbook of the Logistic Distribution. Marcel Dekker, New York. ISBN 0-8247-8587-8.
  • Johnson, N. L., Kotz, S., Balakrishnan N. (1995). Continuous Univariate Distributions. Vol. 2 (2nd Ed. ed.). ISBN 0-471-58494-0.
Bvn-small.png        Розподіли ймовірності
Одновимірні Багатовимірні
Дискретні: Бернуллі | біноміальний | геометричний | гіпергеометричний | логарифмічний | від'ємний біноміальний | Пуассона | рівномірний поліноміальний
Абсолютно неперервні: Бета | Вейбулла | Гамма | гіперекспоненційний | Колмогорова | Коші | Лапласа | Леві | логістичний | логнормальний | нормальний (Гауса) | Парето | рівномірний | Райса | Релея | Стьюдента | Фішера | хі-квадрат | експоненційний | багатовимірний нормальний