Фазовий портрет

Диференціальні рівняння
Види рівнянь Звичайні З частинними похідними Лінійні Нелінійні Автономні Алгебраїчні Диференціально-алгебраїчні Інтегро-диференціальні Однорідні Рівняння в повних диференціалах Стохастичні З запізненням
Загальні теми Фазовий простір Інтегральна крива Теорема Пікара — Лінделефа Фазовий портрет Диференціальний оператор Визначник Вронського Стійкість Чисельне інтегрування Фундаментальна матриця
Методи розв'язання Метод характеристик Розділення змінних Знижування порядку Інтегрувальний множник Метод невизначених коефіцієнтів Метод варіації параметрів Метод Ейлера Метод Рунге — Кутти Метод Адамса Метод скінченних різниць Метод Кранка-Ніколсон Метод скінченних елементів Метод Гальоркіна Інтегральне перетворення Теорія збурень
Відомі рівняння Рівняння Лотки-Вольтерри Дивний атрактор Лоренца Рівняння Дуффінга Осцилятор Ван дер Поля Система Хенона-Гейлса Рівняння Ріккаті Хвильове рівняння Рівняння Лапласа Рівняння дифузії Рівняння Бюргерса Рівняння Нав'є — Стокса Рівняння Гамільтона — Якобі Рівняння Коші-Ейлера Рівняння Бернуллі Модель Годжкіна — Гакслі Схема Чуа Атрактор Рьослера Модель Курамото
Математики Ісаак Ньютон Ґотфрід Лейбніц Леонард Ейлер П'єр-Симон Лаплас Жозеф Ліувілль Жозеф-Луї Лагранж Анрі Пуанкаре Рудольф Ліпшиц Олександр Ляпунов Еміль Пікар Карл Рунге Джон Кранк

Фазовий портрет математичного маятника. Верхня крива - залежність кута від часу в коливальному режимі

Фазовий портрет - зображення траєкторій динамічної системи у фазовому просторі.

Кожен стан системи відповідає певній точці на фазовому портреті. Фазові портрети служать для наочного відображення особливостей еволюції динамічної системи: стаціонарних точок, циклів, басейнів притягання.

Для двовимірної системи фазовий портрет повністю відображає типи траєкторій, які можуть реалізуватися. Для системи більшої вимірності будуються проєкції фазових траєкторій на вибрану площину фазового простору.

Приклади

На малюнку праворуч показаний фазовий портрет математичного маятника, тобто залежність кутової швидкості від кута повороту. На фазовому портреті можна помітити різні типи траєкторій:

• Непорушна центральна точка в колах відповідає стану спокою (точка рівноваги)
• Точки перехрещення відповідають положенню нестійкої рівноваги (маятник стоїть вертикально).
• Концентричні лінії навколо точок рівноваги (цикли) відповідають коливанням. При коливаннях кутова швидкість змінює знак, а кут змінюється в певних межах.
• Обертання відображене верхніми й нижніми хвилястими лініями. При обертанні кутова швидкість змінюється мало, а кут росте або зменшується необмежено.

Див. також

• Метод фазової площини

Література

• Jordan, D. W.; Smith, P. (2007). Nonlinear Ordinary Differential Equations (вид. fourth). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920824-1. Chapter 1.
• Steven Strogatz (2001). Non-linear Dynamics and Chaos: With applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering. ISBN 9780738204536.
• Haynes Miller, and Arthur Mattuck. 18.03 Differential Equations. Spring 2010. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, License: Creative Commons BY-NC-SA. (Supplementary Notes 26 by Haynes Miller)