Скінченна множина

Скінченна множина — це множина, кількість елементів якої є скінченна, тобто існує натуральне число k, що є числом елементів цієї множини. В протилежному випадку множина є нескінченною.
Визначення 2. Множина, що не має рівнопотужної з нею власної підмножини, а також порожня множина, називається скінченною

Формальне визначення

Нехай $\ J_{n}=\{1,2,\dots ,n\}$ — множина, що складається з перших $n$ цілих чисел. Множина $\ X$ називається скінченною, якщо вона еквівалентна $\ J_{n}$ при деякому $\ n$.

Число $\ n$ називається кількістю елементів множини $\ X,$ позначається $\ n=|X|$.

Дві множини $X$ та $Y$ називаються еквівалентними, якщо існує бієктивне відображення однієї на іншу. Якщо множини еквівалентні, то цей факт записують $\ X\sim Y$ або $\ |X|=|Y|$ і кажуть, що множини мають однакові потужності.

Порожня множина є скінченною множиною, кількість елементів якої дорівнює 0: $|\emptyset |=0$.
Існує декілька основних теорем для скінченних множин.

Основні теореми

Основна теорема про скінченні множини

Скінченна множина не рівнопотужна жодній власній підмножині і власній надмножині.

Доведення. Кожне з двох тверджень теореми (про нерівнопотужності підмножини і надмножини) легко випливає з іншого, оскільки, якщо $A\sim B$ та $A\supset B$ то зі скінченності однієї з множин A і B, як було зазначено раніше, випливає скінченність іншої. Доведемо, наприклад, що скінченна множина A не рівнопотужна її власній підмножині. Для порожньої множини A = 0 теорема вірна, оскільки порожня множина зовсім не має власних підмножин. Нехай $A\neq 0$. Тоді за визначенням скінченної множини, множина A рівнопотужна (принаймні одному) відрізку натурального ряду | 1, n |. Доведемо індукцією по числу n, що A не можна взаємно однозначно відобразити на її власну підмножину B. Для n = 1 це очевидно, оскільки A ~ | 1, 1 | і містить лише один елемент. Єдиною її власною підмножиною буде B = 0, причому A не рівнопотужна B. Припустимо, що теорема доведена для натурального числа n, і доведемо її для числа n+1. Отже, нехай A ~ | 1, n +1 |, і f є взаємно однозначним відображенням A на B. Пронумерувавши елементи A відповідними їм числами, отримаємо: A = {a1, a2, …, an+1}. Для B = 0 твердження вірне. Якщо $B\neq 0$, то без обмеження спільності можна припустити, що $a_{n+1}\in B$. Інакше беремо єлемент $b\in B$ та будуємо нову множину $B_{1}$, отриману з B заміною елемента b на $a_{n+1}$, і нове відображення $f_{1}$, яке збігається з f для всіх елементів множини A, окрім елементів a з властивістю f (a) = b, причому для цього елемента a вважаємо $f_{1}(a)=a_{n+1}$. Тоді $f_{1}$ буде взаємно однозначним відображенням A на власну підмножину $B_{1}$, що містить $a_{n+1}$. Далі, без обмеження спільності можна вважати, що $f(a_{n+1})=a_{n+1}$. Інакше, нехай $f(i)=a_{n+1}$ і $f(a_{n+1})=a_{j}$. Тоді будуємо нове відображення $f_{1}$,  яке збігається з f для всіх елементів A, крім $a_{i}$ та $a_{i+1}$, причому вважаємо $f(a_{i})=a_{j}$ і$f(a_{n+1})=a_{n+1}$. Отже, нехай $a_{n+1}\in B$ та $f(a_{n+1})=a_{n+1}$, нехай також A' = A \ {$a_{n+1}$} і B' = B \ {$a_{n+1}$}. Оскільки B — власна підмножина A, то існує елемент $a'\in B/A$. Оскільки $a_{n+1}\in B$, то $a'\neq a_{n+1}$. Тому $a'\in A'/B'$. Отже, B' є власною підмножіною A'. Оскільки $f(a_{n+1})=a_{n+1}\in B$, то відображення $f$ встановлює рівнопотужність множин A 'і B', але A '= {$a_{1},a_{2},...,a_{n}$} ~ | 1, n |. Ми одержали протиріччя з припущенням індукції, тим самим нашого твердження, а значить, і вся теорема доведена.
З цієї теореми легко слідує наступна теорема.

Всіляка непорожня скінченна множина рівнопотужна одному і тільки одному відрізку натурального ряду

Доведення:
За визначенням скінченної множини непорожня скінченна множина A рівнопотужна принаймні одному відрізку натурального ряду. Якби вона була рівнопотужна двом різним відрізкам$A\sim |1,m|$, $A\sim |1,n|$ $m\neq n$, тоді за властивостями рівнопотужності буде: $|1,m|\sim |1,n|$, що суперечить теоремі 1, оскільки один з двох різних відрізків натурального ряду є власною підмножиною іншого. Однозначно визначене для даної непорожньої скінченної множини A натуральне число n таке, що $A\sim |1,n|$, називається числом елементів множини A. Числом елементів порожньої множини називається число 0. З властивостей рівньопотужності випливає, що дві скінченні множини тоді і тільки тоді рівнопотужні, коли вони мають одне і те ж число елементів. Тому число елементів можна прийняти за визначення потужності скінченної множини.

Будь-яка підмножина скінченної множини сама скінченна. Будь-яка надмножина нескінченної множини сама нескінченна

Доведення:

Кожне з двох тверджень теореми випливає з іншого. Так, якщо перше твердження вірне, то вірне і друге, оскільки якщо A нескінченно та $A\subseteq B$, то і B нескінченне, тому що якщо б B була скінченною, то по першій половині теореми і A було б скінченним. Досить тому довести перше твердження. Отже, нехай A скінченне та $B\subseteq A$.Якщо $A=0$, то і $B=0$, теорема справедлива. Нехай $A\supset 0$. Тоді $A\sim |1,n|$ для деякого числа n. Застосуємо індукцію щодо n. При n = 1 теорема правильна, оскільки A містить один елемент, і або B = 0, або B = A. Нехай твердження вірне для деякого n. Доведемо його для числа n + 1. Отже, нехай f - взаємно однозначне відображення A на відрізок | 1, n +1 |. Якщо B = A, то B скінченне. Нехай $B\subset A$. Існує елемент $a\in (A/B)$. Можна вважати, що f (a) = n + 1. Інакше f (a ') = n + 1, де $a'\in A$ та $a'\neq a$. Якщо тоді f (a) = i, то будуємо нове відображення f₁, вважаючи f₁ (a) = n + 1, f₁ (a ') = i і f₁ = f для решти елементів множини A. Отже, нехай f (a) = n + 1. Покладемо A '= A \ {a}. Тоді f визначає взаємно однозначне відображення множини A ' на відрізок | 1, n |, і $B\subseteq A'$.Отже, за припущенням індукції B скінченне. Теорема доведена. Згідно з теоремою 3 поняття про число елементів має сенс для будь-якої підмножини даної скінченної множини. При цьому має місце Теорема 4(див. нижче).

Число елементів скінченної множини A завжди більше від числа елементів його власної підмножини B.

Доведення:

Нехай m - число єлементів з множини A, n - число елементів з множини B. Зауважимо, що $n\geq m$. Оскільки $A\supset B$, то $A\neq 0$, $n>0$, $A\sim |1,m|$. Також і $m\geq n>0$, отже $B\sim |1,n|$(1). При взаємно однозначному відображенні A на відрізок |1, m| множина B відображається також взаємно однозначно на деяку власну підмножина B' відрізка |1, m|, таким чином, $B\sim b'$(2). З $B'\subset |1,m|$ та $m\leq n$ слідує $B'\subset |1,n|$(3). Проте з (1) та (2) слідує $B'\sim |1,m|$, що в силу (3) суперечить теоремі 1, т. я. відрізок |1, n| виявляється рівнопотужним своїй власній підмножині B '.

Властивості

• Скінченна множина не еквівалентна жодній власній підмножині;
• $X_{1},\dots ,X_{n}$ — скінченні множини що попарно не перетинаються (тобто $X_{i}\cap X_{j}=\emptyset$), тоді

$|X_{1}\cup X_{2}\cup \dots \cup X_{n}|=|X_{1}|+|X_{2}|+\dots +|X_{n}|$;

• $X_{1},\dots ,X_{n}$ — скінченні множини, тоді

$\ |X_{1}\times X_{2}\times \dots \times X_{n}|=|X_{1}|\times |X_{2}|\times \dots \times |X_{n}|$;

• Нехай $X$ — скінченна множина, тоді потужність булеана рівна

$\ |2^{X}|=2^{|X|}.$

Див. також

• Зліченна множина
• Комбінаторика
• Потужність множини