Гомоморфізм

В алгебрі гомоморфізм — це зберігаюче структуру відображення між двома алгебричними структурами того ж самого типу (наприклад, двома групами, двома кільцями, двома векторами просторами).

Слово гомоморфізм у перекладі з давньогрецької грец. homos – однаковий і грец. morphe – форма, вид. Цей термін з'явився ще в 1892, його припусували німецькому математику Феліксу Клейну (1849—1925).

Гомоморфізми двох векторних просторів також називають лінійними відображеннями, а їх дослідженнями займається лінійна алгебра.

Поняття гомоморфізму було узагальнено під назвою морфізм для багатьох структур, що не мають множини-носія або не є алгебраїчними. Це узагальнення — відправна точка теорії категорій

Гомоморфізм може також бути ізоморфізмом, ендоморфізмом, автоморфізмом і т.п. (дивись нижче). Кожен з цих гомоморфізмів може бути визначений способом, який можна узагальнити до будь-якого класу морфізмів.

Означення

Гомоморфізм — це відображення між двома алгебричними структурами одного типу (з однаковими назвами), що зберігає операції цих структур. Це означає відображення $f\colon A\rightarrow B$ між двома множинами $A$, $B$, які мають однакові структуру такі, що якщо $\cdot$ — операція цієї структури (для спрощення вважаємо її бінарною операцією), тоді

$f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)$

для будь-якої пари елементів $x$,$y$ множини $A$. Часто говорять, що гомоморфізм $f$ зберігає операцію або сумісний з операцією.

Формально, відображення $f\colon A\rightarrow B$ зберігає операцію $\mu$ арності $k$, яка визначена на обох множинах, якщо

$f(\mu _{A}(a_{1},\dots ,a_{k}))=\mu _{B}(f(a_{1},\dots ,f(a_{k}))$,

для всіх елементів $a_{1},\dots ,a_{k}$ множини $A$.

Операції, що повинні зберігатися при гомоморфізмі, включають 0-арні операції, тобто константи. Зокрема, коли нейтральний елемент вимагається типом структури, то нейтральний елемент першої структури має відображатися в відповідний нейтральний елемент другої структури.

Наприклад,

• Гомоморфізм напівгруп — це відображення між напівгрупами, що зберігає операції напівгруп.
• Гомоморфізм моноїдів — це відображення між моноїдами, що зберігає операції моноїдів та відображає нейтральний елемент першого моноїду у нейтральний елемент другого моноїду (нейтральний елемент це 0-арна операція).
• Гомоморфізм груп — це відображення між двома групами, що зберігає операції груп.

З цього випливає, що гомоморфізм груп відображає нейтральний елемент першої групи у нейтральний елемент другої групи, та відображає обернений елемент першої групи у обернений образ цього елемента. Тому, гомоморфізм напівгруп між групами обов'язково є гомоморфізмом груп.

• Гомоморфізм кілець — це відображення між кільцями, що зберігає додавання в кільцях, множення в кільцях та мультиплікативні тотожності.
• Лінійне відображення — це гомоморфізм векторних просторів, тобто гомоморфізм груп між векторними просторами, що зберігає структури абелевих груп та множення на скаляр.
• Гомоморфізм модулів, також називають лінійним відображення між модулями, визначають аналогічним чином.
• Гомоморфізм алгебр — це відображення, що зберігає операції алгебри.

Алгебраїчна структура може мати більше однієї операція та гомоморфізм повинен зберігати кожну операцію. Таким чином, відображення, що зберігає тільки деякі операції не є гомоморфізмом структури, але лише гомоморфізмом субструктури, що отримується при розгляді лише збережених операцій. Наприклад, відображення між моноїдами, що зберігає операцію моноїда, а не нейтральний елемент, не є гомоморфізмом моноїду, але є гомоморфізмом напівгрупи.

При гомоморфізмі між алгебричними структурами позначення операцій в них не обов'язково повинні збігатися. Наприклад, дійсні числа утворюють групу з операцією додавання, а додатні дійсні числа утворюють групу з операцією множення. Експонента

$x\mapsto {\rm {e}}^{x}$

задовольняє співвідношення

${\rm {e}}^{x+y}={\rm {e}}^{x}{\rm {e}}^{y}$

та визначає гомоморфізм між цими двома групами. Більш того, це навіть ізоморфізм (дивись нижче), бо її обернена функція (натуральний логарифм) задовольняє співвідношення

$\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$

і це також гомоморфізм між групами.

В термінах універсальної алгебри, це відображення $\phi \colon A\rightarrow B$, алгебричної системи $A$ в алгебраїчну систему $B$ того ж типу, що зберігає алгебраїчну операцію:

$\phi (f_{A}(x_{1},\ldots ,x_{n}))=f_{B}(\phi (x_{1}),\ldots ,\phi (x_{n}))$

для кожної $n$-арної операції $f$ і $\forall x_{i}\in A$.

Базові приклади

Гомоморфізм моноїду $f$ з моноїду $(\mathbb {N} ,+,0)$ у моноїд $(\mathbb {N} ,\times ,1)$ визначається функцією $f(x)=2^{x}$. Гомоморфізм є ін'єктивним, але не є сюр'єктивним.

Дійсні числа є кільцем, що має додавання і множення. Множина всіх $2\times 2$ матриць також кільце над додаванням матриць і множенням матриць. Якщо ми визначимо функцію між цими кільцями так:

$f(r)={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}$

де $r$ дійсне число. Тоді $f$ — гомоморфізм кілець, бо $f$ зберігає і додавання:

$f(r+s)={\begin{pmatrix}r+s&0\\0&r+s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)+f(s)$

і множення:

$f(rs)={\begin{pmatrix}rs&0\\0&rs\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)\,f(s).$

Інший приклад, ненульові комплексні числа утворюють групу над множенням, так само як ненульові дійсні числа. (Нуль треба виключити, бо він не має оберненого елемента, який повинен бути в елементів групи.) Визначимо функцію $f$ з ненульових комплексних чисел в ненульові дійсні числа так

$f(z)=|z|.\,\!$

Де, $f(z)$ — абсолютне значення (або модуль) комплексного числа $z$. Тоді $f$ — гомоморфізм групи, бо воно зберігає множення:

$f(z_{1}z_{2})=|z_{1}z_{2}|=|z_{1}|\,|z_{2}|=f(z_{1})\,f(z_{2}).$

Зауважте, що $f$ не можна поширити на гомоморфізм груп (з комплексних в дійсні), бо вона не зберігає додавання:

$|z_{1}+z_{2}|\neq |z_{1}|+|z_{2}|.$

Як приклад на діаграмі показано гомоморфізм моноїду $f$ від моноїду $(\mathbb {N} ,+,0)$ до моноїду $(\mathbb {N} ,\times ,1)$. Завдяки різним назвам відповідних операцій, властивості збереження структури, яким задовольняє $f$, запишуться як $f(x+y)=f(x)\times f(y)$ та $f(0)=1$.

Композиційна алгебра $A$ над полем $\mathbb {F}$ має квадратичну форму, яка називається нормою, $N\colon A\rightarrow \mathbb {F}$, яка є груповим гомоморфізмом з мультиплікативної групи алгебри $A$ у мутиплікативну групу поля $\mathbb {F}$.

Типи гомоморфізмів

Кожен тип алгебричних структур має свій гомоморфізм:

• Гомоморфізм груп
• Гомоморфізм кілець
• Гомоморфізм модулів
• Лінійний оператор (гомоморфізм векторних просторів)
• Гомоморфізм алгебр

Часткові випадки

Декілька видів гомоморфізму мають спеціальні назви, які також визначаються для загальних морфізмов.

Ізомормізм

Ізоморфізм — бієктивний гомоморфізм.^{:134 :28} Ізоморфізм між алгебричними структурами одного типу зазвичай визначають як бієктивний гомоморфізм.

У більш загальному контексті теорії категорій ізоморфізм визначається як морфізм, який має обернене відображення, яке також є морфізмом. У випадку алгебраїчних структур ці два означення є еквівалентними, хоча вони можуть відрізнятися для неалгебраїчних структур, які мають множину-носія.

Точніше, якщо

$f\colon \ A\to B$

є (гомо)морфізмом, то він має обернений, якщо існує гомоморфізм

$g\colon \ B\to A$

такий, що

$f\circ g=\operatorname {Id} _{B}\quad {\text{та}}\quad g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.$

Якщо $A$ та $B$ мають множини-носії та $f\colon A\to B$ має обернене відображення $g$, тоді $f$ є бієктивним. Дійсно, $f$ є ін'єктивним, оскільки з $f(x)=f(y)$ випливає, що $x=g(f(x))=g(f(y))=y$, та $f$ є сюр'єктивним, так як для будь-якого $x$ з $B$ маємо, що $x=f(g(x))$, і $x$ є образом елемента з $A$.

Навпаки, якщо $f\colon A\to B$ — бієктивний гомоморфізм між алгебраїчними структурами, нехай $g\colon B\to A$ — таке відображення, щоб $g(y)$ єдиний елемент $x$ з $A$ такий, що $f(x)=y$. Маємо, що $f\circ g=\operatorname {Id} _{B}$ та $g\circ f=\operatorname {Id} _{A}$, і залишається лише показати, що $g$ є гомоморфізмом. Якщо $*$ є бінарною операцією структури, то для будь-якої пари $x$, $y$ елементів з $B$ маємо:

$g(x*_{B}y)=g(f(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y))))=g(x)*_{A}g(y)$

і, таким чином, $g$ сумісний з операцією $*$. Оскільки доведення аналогічне для будь-якої арності, то це означає, що $g$ — гомоморфізм.

Це доведення не працює для неалгебраїчних структур. Наприклад, для топологічних просторів морфізм є неперервним відображенням, а обернене до бієктивного неперервного відображення не обов'язково є неперервним. Ізоморфізм топологічних просторів, який називається гомеоморфізмом або бінеперервним відображенням, таким чином, є бієктивним неперервним відображенням, обернене до якого також є неперервним.

Ендоморфізм

Ендоморфізм — гомоморфізм алгебраїчної категорії самої в себе. Ендоморфізм — це гомоморфізм, область визначення якого збігається з кообластю, або, в більш загальному сенсі, морфізм, джерело якого дорівнює цілі.^:135

Ендоморфізми алгебричної структури або об'єкта категорії утворюють моноїд за композицією.

Ендоморфізми векторного простору або модуля утворюють кільце. У випадку векторного простору або вільного модуля скінченної розмірності, вибір базису індикує ізоморфізм кільця між кільцем ендоморфізмів і кільцем квадратних матриць тієї ж розмірності.

Автоморфізм

Автоморфізм — ендоморфізм, що є одночасно ізоморфізмом.^:135 Автоморфізми алгебричної структури або об'єкта категорії утворюють групу за композицією, яка називається групою автоморфізмів структури.

Багато іменних груп є групами автоморфізмів деякої алгебричної структури. Наприклад, загальна лінійна група ${\rm {GL}}_{n}(k)$ — група автоморфізмів векторного простору розмірності $n$ над полем $k$.

Групи автоморфізмів полів були введені Еваристом Галуа при дослідженні коренів многочленів і є основою теорії Галуа.

Мономорфізм

Мономорфізм — ін'єктивний гомоморфізм.^{:134 :29} У загальному контексті теорії категорій мономорфізм визначається як морфізм, який є лівим скороченням. Це означає, що (гомо)морфізм $f\colon A\to B$ є мономорфізмом, якщо для будь-якої пари морфізмів $g$, $h$ з будь-якого іншого об'єкта $C$ в $A$, з $f\circ g=f\circ h$ випливає, що $g=h$.

Ці два означення мономорфізму еквівалентні для всіх загальних алгебраїчних структур. Точніше, вони еквівалентні для полів, для яких будь-який гомоморфізм є мономорфізмом, і для многовидів універсальної алгебри, тобто алгебраїчних структур, для яких операції і аксіоми (тотожності) визначаються без будь-яких обмежень (поля не утворюють многовидів, так як мультиплікативні обернені визначаються або як унітарна операція, або як властивість множення, які в обох випадках визначаються тільки для ненульових елементів).

Зокрема, два означення мономорфізму еквівалентні для множин, магм, напівгруп, моноїдів, груп, кільць, полів, векторних просторів і модулів.

Розщеплений мономорфізм — це гомоморфізм, який має лівий обернений, і, таким чином, сам є правим оберненим цього іншого гомоморфізму. Тобто гомоморфізм $f\colon A\to B$ є розщепленим мономорфізмом, якщо існує гомоморфізм $g\colon B\to A$ такий, що $g\circ f=\operatorname {Id} _{A}$. Розщеплений мономорфізм завжди є мономорфізмом для обох значень мономорфізму. Для множин і векторних просторів будь-який мономорфізм є розщепленим мономорфізмом, але ця властивість не виконується для більш загальних алгебраїчних структур.

Епіморфізм

Епіморфізм — сюр'єктивний гомоморфізм. В алгебрі епіморфізми часто визначаються як сюр'єктивні гомоморфізми.^:134:43 З іншого боку, в теорії категорій епіморфізми визначаються як скоротні справа морфізми. Це означає, що (гомо)морфізм $f\colon A\to B$ є епіморфізмом, якщо для будь-якої пари $g$, $h$ морфізмів з $B$ до будь-якого іншого об'єкта $C$, рівність $g\circ f=h\circ f$ означає $g=h$.

Сюр'єктивний гомоморфізм завжди є скоротним справа, але ця домовленість не завжди вірна для алгебраїчних структур. Однак, два визначення епіморфізму тотожні для множин, векторних просторів, абелевих груп, модулів (див. нижче для доведення) і груп. Важливість цих структур у всій математиці, і особливо в лінійній алгебрі та гомологічній алгебрі, може пояснити співіснування двох нетотожних визначень.

Алгебраїчні структури, для яких існують несюр'єктивні епіморфізми, включають напівгрупи і кільця. Основним прикладом є те що цілі числа входять до раціональних чисел, що є гомоморфізмом кілець і мультиплікативних напівгруп. Для обох структур це мономорфізм і не сюр'єктивний епіморфізм, але не ізоморфізм.

Широким узагальненням цього прикладу є локалізація кільця мультиплікативною множиною. Кожна локалізація — це кільцевий епіморфізм, який, в загальному випадку, не сюр'єктивний. Оскільки локалізації є фундаментальними в комутативній алгебрі та алгебричній геометрії, це може пояснити, чому в цих областях визначення епіморфізмів як скоротних справа гомоморфізмів, як правило, є кращим.

Розділений епіморфізм — це гомоморфізм, що має праве обернення і, таким чином, сам по собі є лівим оберненням від цього іншого гомоморфізму. Тобто гомоморфізм $f\colon A\rightarrow B$ є розділеним епіморфізмом, якщо існує гомоморфізм $g\colon B\rightarrow A$ такий, що $f\circ g=\operatorname {Id} _{B}.$ Розділений епіморфізм завжди є епіморфізмом для обох значень епіморфізму. Для множин та векторних просторів, будь-який епіморфізм це розділений епіморфізм, та ця властивість не буде виконуватися для всіх алгебраїчних структур.

У підсумку, маємо

розділений епіморфізм $\Rightarrow$ епіморфізм(сюр'єктивний) $\Rightarrow$ епіморфізм (скоротний справа)

останнє значення - еквівалентність множин, векторних просторів, модулів і абелевих груп; перше значення - еквівалентність множин і векторних просторів.

Ядро та образ гомоморфізму

• Гомоморфізм $\phi \colon A\rightarrow B$ визначає відношення еквівалентності $\sim$ в $A$ так:

$x\sim y\ \iff \ \phi {(x)}=\phi {(y)}.$

Відношення $\sim$ називається ядром $\phi$.

• Фактор-множина $X/\!\sim$ ізоморфна образу $\phi$.

Властивості

• Множина всіх ендоморфізмів множини $X$ утворює моноїд, позначається $\operatorname {End} (X)$.
• Множина всіх автоморфізмів множини $X$ утворює групу, позначається $\operatorname {Aut} (X)$.

Практичне значення

Поняття гомоморфізму і споріднені з ним поняття ізоморфізму і автоморфізму мають величезне практичне значення, так як вони дозволяють представляти одну модель іншою моделлю.

Див. також

• Теорема про гомоморфізми
• Теореми про ізоморфізми
• Гомеоморфізм
• Дифеоморфізм

Література

Українською

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

• Кон П. Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)