Многовид

Многови́д — це об'єкт, який локально має характер евклідового простору розмірності n.

Визначення

Многовидом над алгебрично замкненим полем $k$ є відділювана схема скінченного типу над $k$. Морфізмом многовиів називається їх морфізм як схем над полем $k$. Многовид $X$, який є афінною схемою, називається афінним многовидом. Будь-який многовид $X$ має скінченне покриття $X=\bigcup U_{i},$ де $U_{i}$ - афінні многовиди. З цього слідує, що $X$ має скінченну розмірність.

Якщо $X$ незвідний, то усі $U_{i}$ щільні у $X$ та $\dim X=\dim U_{i}.$ Вони є біраціонально ізоморфними, оскільки $U_{i}\cap U_{j}$ відкритий й щільний як у $U_{i},$ та й у $U_{j}.$ Тому поля раціональних функцій $k(U_{i})$ є ізоморфними між собою. Ці поля можна ототожнити. Отримане поле називається поем раціональних функцій на $X$ й позначається $k(X).$ Розмірність многовида $X$ дорівнює степені трансцендентності поля $k(X).$

Топологія на $X$, яка задається структурою схеми, називається спектральною. Для многовида $X$, визначеного над полем комплексних чисел $\mathbb {C} ,$ через $X(\mathbb {C} )$ позначається множина його замкнених точок. Розгляньмо відкриту у спектральній топології множину $U\subset X,$ скінченне число функцій $f_{1},...,f_{m},$ регулярних на $U,$ та число $\varepsilon >0.$ Через $V(f_{1},...,f_{m})$ позначмо множину тих точок $x\in U(\mathbb {C} ),$ для яких

$|f_{i}(x)|<\varepsilon ,\quad i={\overline {1,m}}.$

Множина $X(\mathbb {C} )$ перетворюється на топологічний простір, узявши базис відкритих множин множини $V(U;\,f_{1},...,f_{m};\,\varepsilon ).$ Визначена таким чином буде називатися комплексною.

Якщо $Y\subset X$ - замкнена у спектральній топології підмножина, то $Y(\mathbb {C} )\subset X(\mathbb {C} ).$ Таким чином, $Y(\mathbb {C} )$ є замкненою у $X(\mathbb {C} )$ у комплексній топології, комплексна топологія множини $Y(\mathbb {C} )$ співпадає із її топологію як підпростори у $X(\mathbb {C} ).$ Однак не усяка замкнена у комплексній топології множина має вид $Y(\mathbb {C} )$, де $Y$ замкнена у $X$ в спектральній топології. Прикладом ємножина точок $x\in \mathbb {A} ^{1}(\mathbb {C} ),$ для яких $|t(x)|\leq 1,$ де $t$ - координата на $\mathbb {A} ^{1}.$ Морфізм $f:X\rightarrow Y$ алгебричних многовидів визначає неперервне відображення $f:(\mathbb {C} )\rightarrow Y(\mathbb {C} ).$

Многовид (алгебричний) представляється сукупністю точок, яка виражається системою многочленних рівнянь:

$M=\{P\in k^{n}\,|\,f_{i}(P)=0\}\subset k^{n},$

де $k$ - поле, $f_{i}\in k[X_{1},...,X_{n}]$ - многочлени. Вивчення алгебричних рівнянь - стародавня математична наука. Нині мода й зручність диктують звернення до кілець.

Властивості

Многовид має цілочислову розмірність, яка вказує скількома параметрами (координатами) можна описати окіл довільної точки многовида. Ідея многовида полягає в тому, що геометрія гладкої поверхні «у малому», тобто в околу кожної її точки, нагадує геометрію Евклідового простору. Формально: n-вимірний многовид — це Гаусдорфів топологічний простір у якому будь-яка точка x має окіл гомеоморфний відкритій n-вимірній кулі:

$f_{x}:U\to B_{n}(0,r)=\{x\in \mathbf {R} ^{n}:||x||<r\},x\in U.$

Завдання топологічних відображеннь f_x, які називаються картами (на зразок карт земної поверхні), є частиною структури многовида, а сукупність усіх карт називається атласом. Якщо виконується додаткова вимога, що різні карти узгоджені між собою диференційовним чином, а саме, якщо відображення $f_{x}\circ (f_{y})^{-1}$ між досить малими відкритими множинами n-вимірного Евклідового простору (визначені лише для деяких пар (x,y)) не тільки неперервні, а й гладкі, то маємо справу з гладким многовидом.

Приклади

• Одновимірний многовид — це крива, наприклад, пряма, коло, еліпс, гіпербола, або парабола. Ця лінія не може мати кінцевих точок або перетинати себе. Додатково, з диференційовності лінії випливає, що у кожній точці цілком означена дотична, яка неперервно залежить від точки.

• Двовимірний многовид — це поверхня, наприклад, сфера, циліндр, параболоїд, тор, тощо.

Многовиди вищих розмірностей узагальнюють лінії та поверхні, хоча звичайна уява тут уже не працює.

• Компактниий зв'язаний многовид без межі називається замкнутим.

• n-вимірна сфера, або гіперсфера:

$S^{n}=\{x\in \mathbf {R} ^{n+1}:||x||=1\}.$

Скінченний циліндр є многовидом з межами.

Додаткові структури на многовидах

Задання метричного тензора $g_{ij}$ дозволяє знаходити відстань між двома нескінченно близькими точками, а також інтегрувати (скалярне поле) по підмноговидах, наприклад вздовж кривих, що проходять всередині многовида, або за об'ємом самого многовида.

Інтегрувати векторні та тензорні поля так просто, як скаляр, не можна — через некомутативність паралельного переносу векторів (якщо тензор внутрішньої кривини ненульовий). Наприклад, ми не можемо точно обчислювати повну силу, що діє на протяжне тіло в загальній теорії відносності.

Якщо скаляр скрізь дорівнює одиниці, то ми можемо знаходити довжини кривих і $k$-мірні об'єми $k$-мірних підмноговидів ($k\leq n$, де $n$ — розмірність многовида). Особливий інтерес становлять підмноговиди мінімального об'єму, зокрема найкоротша лінія, що сполучає дві точки многовида (геодезична лінія).

В околі будь-якої точки многовида можна задати майже декартові координати такі, що початок координат буде в цій точці, метричний тензор буде одиничним, і всі перші похідні метричного тензора (або, що еквівалентно, всі символи Крістофеля) дорівнюють нулю. Другі ж похідні можна зробити нульовими далеко не завжди, для цього необхідно (і достатньо), щоб тензор Рімана дорівнював нулю. Якщо тензор Рімана тотожно дорівнює нулю в деякій зв'язній області многовида, то в цій області можна побудувати декартові координати (з метричним тензором що дорівнює одиничній матриці $g_{ij}=\delta _{ij}$), отже внутрішня геометрія такого многовида збігається з геометрією евклідового простору (хоча при погляді зверху цей многовид може бути, наприклад, циліндром).

Розгляд кривини многовида виявляється набагато простішим для гіперповерхонь, коли многовид вкладений в евклідовий простір на одиницю більшої розмірності. Практично важливим випадком гіперповерхні є двовимірні многовиди в тривимірному просторі.

Див. також

• Ріманів многовид
• Замкнутий многовид
• Диференційовний многовид
• Орбівид
• Алгебрична поверхня
• Раціональна поверхня

Література

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.